Номер 19.52, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.52, страница 111.

Условие.

19.52 а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 0,5x^2$ и прямую $y = x + 4$.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена ниже прямой.

г) При каких значениях $x$ парабола $y = 0,5x^2$ расположена ниже прямой $y = x + 4$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 0,5x^2$ и прямую $y = x + 4$.

1. Построим параболу $y = 0,5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• при $x = -2$, $y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 = 8$. Точка $(4, 8)$.
• при $x = -4$, $y = 0,5 \cdot (-4)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.

2. Построим прямую $y = x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• при $x = 0$, $y = 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• при $y = 0$, $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

3. Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их. Точки для параболы соединяем плавной кривой, а точки для прямой — с помощью линейки.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять их правые части, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают.

$0,5x^2 = x + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,5x^2 - x - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Абсциссы точек пересечения графиков равны -2 и 4.

Ответ: $-2; 4$.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена ниже прямой.

Из графика, построенного в пункте а), и из решения пункта б) видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 4$. Между этими точками график параболы $y = 0,5x^2$ проходит ниже графика прямой $y = x + 4$. Таким образом, нужно выделить дугу параболы, концами которой являются точки пересечения. Найдем ординаты этих точек:

• При $x=-2$, $y = 0,5(-2)^2 = 2$. Точка пересечения $(-2, 2)$.
• При $x=4$, $y = 0,5(4)^2 = 8$. Точка пересечения $(4, 8)$.

Ответ: Выделению подлежит часть параболы $y = 0,5x^2$, заключенная между точками $(-2, 2)$ и $(4, 8)$.

г) При каких значениях x парабола $y = 0,5x^2$ расположена ниже прямой $y = x + 4$?

Условие "парабола расположена ниже прямой" означает, что для одних и тех же значений $x$ значения функции $y = 0,5x^2$ должны быть меньше значений функции $y = x + 4$. Это можно записать в виде неравенства:

$0,5x^2 < x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$0,5x^2 - x - 4 < 0$

Умножим неравенство на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):

$x^2 - 2x - 8 < 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ мы уже нашли в пункте б): это $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Парабола $f(x) = x^2 - 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-2; 4)$.