Номер 19.53, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.53, страница 111.

Условие.

19.53 а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 2x^2$ и пря-мую $y = -2x + 4$.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена выше пря-мой.

г) При каких значениях $x$ парабола $y = 2x^2$ расположена выше прямой $y = -2x + 4$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для построения графиков функций $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$ в одной системе координат, выполним следующие шаги:

1. Построение параболы $y = 2x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Составим таблицу значений для нескольких точек:

x	-2	-1	0	1	2
y = 2x²	8	2	0	2	8

2. Построение прямой $y = -2x + 4$.

Это линейная функция, график которой — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $y = 0$, $0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат. На этом же графике выделим часть параболы, которая расположена выше прямой (для пункта в).

Ответ: Графики функций построены на рисунке выше.

б)

Чтобы найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков, нужно приравнять правые части уравнений функций:

$2x^2 = -2x + 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 1.

в)

На графике, построенном в пункте а), часть параболы, которая расположена выше прямой, выделена более жирной красной линией. Это происходит на двух интервалах: левее точки пересечения с абсциссой $x = -2$ и правее точки пересечения с абсциссой $x = 1$.

Ответ: Часть параболы, расположенная выше прямой, выделена на графике.

г)

Вопрос "При каких значениях $x$ парабола $y = 2x^2$ расположена выше прямой $y = -2x + 4$?" сводится к решению неравенства:

$2x^2 > -2x + 4$

Преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть:

$2x^2 + 2x - 4 > 0$

Разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как $2 > 0$):

$x^2 + x - 2 > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ мы уже нашли в пункте б): это $x = -2$ и $x = 1$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$.

График функции $f(x) = x^2 + x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения (больше нуля) вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 + x - 2 > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.