Страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.1 Назовите коэффициент обратной пропорциональности:

a) $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{2}{x}$;

в) $y = \frac{1}{5x}$;

г) $y = -\frac{3}{x}.

Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, задаваемая формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это коэффициент обратной пропорциональности (число, не равное нулю). Чтобы найти этот коэффициент в заданных уравнениях, нужно привести их к стандартному виду и определить значение $k$.

а) В уравнении $y = \frac{1}{x}$ зависимость представлена в стандартном виде $y = \frac{k}{x}$. Здесь числитель дроби равен 1. Таким образом, коэффициент обратной пропорциональности $k = 1$.
Ответ: 1

б) В уравнении $y = \frac{2}{x}$ числитель дроби равен 2. Следовательно, коэффициент обратной пропорциональности $k = 2$.
Ответ: 2

в) Уравнение $y = \frac{1}{5x}$ можно переписать, чтобы оно соответствовало стандартному виду. Для этого представим дробь как $y = \frac{1/5}{x}$. В этой форме видно, что коэффициент обратной пропорциональности $k = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) Уравнение $y = -\frac{3}{x}$ можно записать как $y = \frac{-3}{x}$. Сравнивая с общей формулой $y = \frac{k}{x}$, находим, что коэффициент обратной пропорциональности $k = -3$.
Ответ: -3

20.2 Постройте график функции и укажите, где она убывает, где возрастает:

а) $y = \frac{3}{x}$;

б) $y = -\frac{2}{x}$;

в) $y = \frac{4}{x}$;

г) $y = -\frac{3}{x}$.

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 3$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = 3 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

3. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) и ось $Ox$ (прямая $y=0$) являются асимптотами графика, то есть ветви гиперболы бесконечно приближаются к ним, но не пересекают.

4. Для построения графика найдём несколько контрольных точек.
Для ветви в первой четверти: если $x=1$, то $y=3$; если $x=3$, то $y=1$; если $x=0.5$, то $y=6$. Получаем точки $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(0.5; 6)$.
Для ветви в третьей четверти, которая симметрична первой относительно начала координат: если $x=-1$, то $y=-3$; если $x=-3$, то $y=-1$; если $x=-0.5$, то $y=-6$. Получаем точки $(-1; -3)$, $(-3; -1)$, $(-0.5; -6)$.

5. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Промежутки возрастания и убывания:

Для функции $y = \frac{k}{x}$ с $k > 0$ справедливо, что при увеличении аргумента $x$ на каждом из промежутков области определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, значение функции $y$ уменьшается. Например, при увеличении $x$ от 1 до 3, $y$ уменьшается от 3 до 1. При увеличении $x$ от -3 до -1, $y$ уменьшается от -1 до -3. Таким образом, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = -2 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

3. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

4. Для построения графика найдём несколько контрольных точек.
Для ветви во второй четверти: если $x=-1$, то $y=2$; если $x=-2$, то $y=1$. Получаем точки $(-1; 2)$, $(-2; 1)$.
Для ветви в четвертой четверти, симметричной второй относительно начала координат: если $x=1$, то $y=-2$; если $x=2$, то $y=-1$. Получаем точки $(1; -2)$, $(2; -1)$.

5. Отметим точки и соединим их плавными линиями, чтобы построить гиперболу.

Промежутки возрастания и убывания:

Для функции $y = \frac{k}{x}$ с $k < 0$ справедливо, что при увеличении аргумента $x$ на каждом из промежутков области определения $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, значение функции $y$ увеличивается. Например, при увеличении $x$ от 1 до 2, $y$ увеличивается (становится ближе к нулю) от -2 до -1. При увеличении $x$ от -2 до -1, $y$ увеличивается от 1 до 2. Таким образом, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков убывания нет.

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 4$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = 4 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

3. Область определения: $x \neq 0$. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

4. Найдём несколько точек для построения.
Для первой четверти: если $x=1$, то $y=4$; если $x=2$, то $y=2$; если $x=4$, то $y=1$. Точки: $(1; 4)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$.
Для третьей четверти (симметрично): если $x=-1$, то $y=-4$; если $x=-2$, то $y=-2$; если $x=-4$, то $y=-1$. Точки: $(-1; -4)$, $(-2; -2)$, $(-4; -1)$.

5. Построим график, соединив точки плавными кривыми, приближающимися к осям.

Промежутки возрастания и убывания:

Как и для любой функции вида $y = \frac{k}{x}$ с $k > 0$, данная функция убывает на всей области определения. При росте $x$ в знаменателе, значение положительной дроби уменьшается. Это верно для обоих промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -3$.

Построение графика:

1. Графиком функции является гипербола.

2. Поскольку коэффициент $k = -3 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

3. Область определения: $x \neq 0$. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика.

4. Найдём несколько точек для построения.
Для второй четверти: если $x=-1$, то $y=3$; если $x=-3$, то $y=1$. Точки: $(-1; 3)$, $(-3; 1)$.
Для четвертой четверти (симметрично): если $x=1$, то $y=-3$; если $x=3$, то $y=-1$. Точки: $(1; -3)$, $(3; -1)$.

5. Построим график, соединив точки плавными кривыми, приближающимися к осям.

Промежутки возрастания и убывания:

Как и для любой функции вида $y = \frac{k}{x}$ с $k < 0$, данная функция возрастает на всей области определения. Представим $y = \frac{-3}{x}$. При увеличении положительного $x$, знаменатель растет, дробь $\frac{3}{x}$ уменьшается, а значение $y = -\frac{3}{x}$ увеличивается (например, от -3 к -1). При увеличении отрицательного $x$ (например, от -3 до -1), его модуль уменьшается, дробь $\frac{3}{|x|}$ увеличивается, и значение $y=\frac{3}{|x|}$ тоже увеличивается (от 1 к 3). Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, промежутков убывания нет.

20.3 Постройте в одной системе координат графики функций и сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков:

a) $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{5}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$;

в) $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$;

г) $y = \frac{3}{x}$ и $y = -\frac{3}{x}$.

Для решения задачи необходимо для каждой пары функций построить их графики в одной системе координат и описать их взаимное расположение. Все представленные функции вида $y = \frac{k}{x}$ являются обратными пропорциональностями, их графики — гиперболы. Асимптотами для всех этих графиков являются оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$).

20.4 Задайте число k так, чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ был расположен:

а) в первой и третьей четвертях;

б) во второй и четвёртой четвертях.

а) в первой и третьей четвертях

График функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ является гиперболой. Положение ветвей этой гиперболы на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$.

Для того чтобы точка принадлежала первой координатной четверти, её координаты $x$ и $y$ должны быть положительными: $x > 0, y > 0$.

Для того чтобы точка принадлежала третьей координатной четверти, её координаты $x$ и $y$ должны быть отрицательными: $x < 0, y < 0$.

Рассмотрим зависимость знака $k$ от знаков $x$ и $y$. Из формулы функции $y = \frac{k}{x}$ можно выразить $k$: $k = x \cdot y$.

Если ветвь графика лежит в первой четверти ($x > 0, y > 0$), то произведение $x \cdot y$ будет положительным. Следовательно, $k > 0$.

Если ветвь графика лежит в третьей четверти ($x < 0, y < 0$), то произведение $x \cdot y$ также будет положительным (произведение двух отрицательных чисел). Следовательно, $k > 0$.

Таким образом, чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ был расположен в первой и третьей четвертях, коэффициент $k$ должен быть положительным числом. Можно выбрать любое число, удовлетворяющее этому условию.

Ответ: необходимо, чтобы $k > 0$, например, можно задать $k = 2$.

б) во второй и четвёртой четвертях

Для того чтобы точка принадлежала второй координатной четверти, её координата $x$ должна быть отрицательной, а координата $y$ — положительной: $x < 0, y > 0$.

Для того чтобы точка принадлежала четвёртой координатной четверти, её координата $x$ должна быть положительной, а координата $y$ — отрицательной: $x > 0, y < 0$.

Снова воспользуемся соотношением $k = x \cdot y$.

Если ветвь графика лежит во второй четверти ($x < 0, y > 0$), то произведение $x \cdot y$ будет отрицательным. Следовательно, $k < 0$.

Если ветвь графика лежит в четвёртой четверти ($x > 0, y < 0$), то произведение $x \cdot y$ также будет отрицательным. Следовательно, $k < 0$.

Таким образом, чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ был расположен во второй и четвёртой четвертях, коэффициент $k$ должен быть отрицательным числом. Можно выбрать любое число, удовлетворяющее этому условию.

Ответ: необходимо, чтобы $k < 0$, например, можно задать $k = -3$.

20.5 Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = 1$; $-2$; $4$;

б) значения $x$, если $y = -1$; $2$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$;

г) какому промежутку принадлежит переменная $x$, если $y \in [-2; -1]$.

Для построения графика функции $y = \frac{2}{x}$ составим таблицу значений. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Так как коэффициент $2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Некоторые точки, принадлежащие графику:

• При $x=0.5, y=4$
• При $x=1, y=2$
• При $x=2, y=1$
• При $x=4, y=0.5$
• При $x=-0.5, y=-4$
• При $x=-1, y=-2$
• При $x=-2, y=-1$
• При $x=-4, y=-0.5$

По этим точкам строим ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат (оси $x$ и $y$ являются асимптотами). Далее все значения находим с помощью построенного графика.

а) значения y при x = 1; –2; 4;
Находим на графике точки с абсциссами $1$, $-2$ и $4$ и определяем их ординаты.
- Если $x = 1$, находим на оси $x$ точку $1$, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $2$.
- Если $x = -2$, находим на оси $x$ точку $-2$, опускаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $-1$.
- Если $x = 4$, находим на оси $x$ точку $4$, поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $y$ равно $0.5$.
Ответ: при $x=1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=-1$; при $x=4$, $y=0.5$.

б) значения x, если y = –1; 2; –4;
Находим на графике точки с ординатами $-1$, $2$ и $-4$ и определяем их абсциссы.
- Если $y = -1$, находим на оси $y$ точку $-1$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $-2$.
- Если $y = 2$, находим на оси $y$ точку $2$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $1$.
- Если $y = -4$, находим на оси $y$ точку $-4$, движемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси $x$ равно $-0.5$.
Ответ: если $y=-1$, то $x=-2$; если $y=2$, то $x=1$; если $y=-4$, то $x=-0.5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$;
Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от $\frac{1}{2}$ до $2$. Эта часть графика находится в первой четверти и является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функция достигает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.
- Наибольшее значение: при $x=\frac{1}{2}$, $y = \frac{2}{1/2} = 4$.
- Наименьшее значение: при $x=2$, $y = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$ равно $1$, наибольшее значение равно $4$.

г) какому промежутку принадлежит переменная x, если y ∈ [–2; –1].
Рассмотрим часть графика, где $y$ изменяется от $-2$ до $-1$. Эта часть графика находится в третьей четверти. Найдем, какие значения $x$ соответствуют границам этого интервала $y$.
- Если $y = -2$, то из графика (или из уравнения $-2 = \frac{2}{x}$) находим $x = -1$.
- Если $y = -1$, то из графика (или из уравнения $-1 = \frac{2}{x}$) находим $x = -2$.
Поскольку на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает, то значениям $y$ из отрезка $[-2; -1]$ соответствуют значения $x$ из отрезка $[-2; -1]$.
Ответ: $x \in [-2; -1]$.