Страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

21.13 Напишите уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x + l}$, изображённой:

а) на рис. 33;

б) на рис. 34;

в) на рис. 35;

г) на рис. 36.

Для нахождения уравнения гиперболы вида $y = \frac{k}{x+l}$ необходимо определить параметры $l$ и $k$. Параметр $l$ определяет положение вертикальной асимптоты, которая задается уравнением $x = -l$. Параметр $k$ определяет "растяжение" и расположение ветвей гиперболы.

а) на рис. 33;

1. На графике видно, что вертикальная асимптота — это прямая $x = 1$. Из уравнения асимптоты $x = -l$ следует, что $-l = 1$, откуда $l = -1$.
Таким образом, уравнение гиперболы принимает вид $y = \frac{k}{x-1}$.
2. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, точку $(2, 1)$. Подставим её координаты в полученное уравнение:
$1 = \frac{k}{2-1}$
$1 = \frac{k}{1}$
$k = 1$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{1}{x-1}$.
Для проверки можно использовать другую точку с графика, например, $(0, -1)$. Подстановка даёт: $-1 = \frac{1}{0-1}$, что является верным равенством.

Ответ: $y = \frac{1}{x-1}$

б) на рис. 34;

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 34 — это прямая $x = -2$. Из уравнения $x = -l$ получаем $-l = -2$, откуда $l = 2$.
Уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x+2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(-3, 1)$. Подставим её координаты в уравнение:
$1 = \frac{k}{-3+2}$
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = -1$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{-1}{x+2}$.
Для проверки используем точку $(-1, -1)$: $-1 = \frac{-1}{-1+2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{-1}{x+2}$

в) на рис. 35;

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 35 — это прямая $x = 2$. Из уравнения $x = -l$ следует, что $-l = 2$, то есть $l = -2$.
Уравнение гиперболы принимает вид $y = \frac{k}{x-2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(3, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:
$2 = \frac{k}{3-2}$
$2 = \frac{k}{1}$
$k = 2$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{2}{x-2}$.
Проверим по точке $(4, 1)$: $1 = \frac{2}{4-2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{2}{x-2}$

г) на рис. 36.

1. Вертикальная асимптота графика на рисунке 36 — это прямая $x = -2$. Из уравнения $x = -l$ следует, что $-l = -2$, то есть $l = 2$.
Уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x+2}$.
2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(-3, 2)$. Подставим её координаты в уравнение:
$2 = \frac{k}{-3+2}$
$2 = \frac{k}{-1}$
$k = -2$.
3. Итоговое уравнение гиперболы: $y = \frac{-2}{x+2}$.
Проверим по точке $(-1, -2)$: $-2 = \frac{-2}{-1+2}$, что верно.

Ответ: $y = \frac{-2}{x+2}$

21.14 Задайте функцию $y = |x + l|$ или $y = -|x + l|$, график которой изображён:

а) на рис. 37;

б) на рис. 38;

в) на рис. 39;

г) на рис. 40.

Для того чтобы определить, какой функцией задан каждый из графиков, проанализируем общий вид функций $y = |x + l|$ и $y = -|x + l|$.

График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

1. Функция вида $y = |x + l|$ получается путем сдвига графика $y = |x|$ вдоль оси абсцисс. Вершина графика будет находиться в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x + l = 0$, то есть $x = -l$. Таким образом, вершина графика имеет координаты $(-l, 0)$, а ветви направлены вверх.

2. Функция вида $y = -|x + l|$ является отражением графика $y = |x + l|$ относительно оси абсцисс. Ее вершина также находится в точке $(-l, 0)$, но ветви направлены вниз.

Следовательно, для определения параметра $l$ для каждого графика нужно найти абсциссу вершины $x_v$ и использовать соотношение $l = -x_v$.

а) на рис. 37;

График на рисунке 37 представляет собой "галочку", ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция имеет вид $y = |x + l|$.
Вершина графика находится в точке с координатами $(-2, 0)$.
Абсцисса вершины $x_v = -2$.
Найдем параметр $l$: $l = -x_v = -(-2) = 2$.
Подставив значение $l$ в формулу, получаем функцию $y = |x + 2|$.

Ответ: $y = |x + 2|$.

б) на рис. 38;

График на рисунке 38 представляет собой "галочку", ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция имеет вид $y = |x + l|$.
Вершина графика находится в точке с координатами $(5, 0)$.
Абсцисса вершины $x_v = 5$.
Найдем параметр $l$: $l = -x_v = -5$.
Подставив значение $l$ в формулу, получаем функцию $y = |x - 5|$.

Ответ: $y = |x - 5|$.

в) на рис. 39;

График на рисунке 39 представляет собой "галочку", ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция имеет вид $y = -|x + l|$.
Вершина графика находится в точке с координатами $(3, 0)$.
Абсцисса вершины $x_v = 3$.
Найдем параметр $l$: $l = -x_v = -3$.
Подставив значение $l$ в формулу, получаем функцию $y = -|x - 3|$.

Ответ: $y = -|x - 3|$.

г) на рис. 40.

График на рисунке 40 представляет собой "галочку", ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция имеет вид $y = -|x + l|$.
Вершина графика находится в точке с координатами $(-4, 0)$.
Абсцисса вершины $x_v = -4$.
Найдем параметр $l$: $l = -x_v = -(-4) = 4$.
Подставив значение $l$ в формулу, получаем функцию $y = -|x + 4|$.

Ответ: $y = -|x + 4|$.

21.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = 2(x - 1)^2;$

а) на отрезке $[0; 2];$

б) на луче $(-\infty; 1];$

в) на луче $[0; +\infty);$

г) на отрезке $[1; 2].$

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2(x-1)^2$ на различных промежутках, проанализируем её свойства.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при квадрате разности равен 2 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где выражение в скобках равно нулю, то есть $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Ордината вершины: $y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума.

На промежутке $(-\infty; 1]$ функция убывает.

На промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) на отрезке [0; 2]

Интервал $[0; 2]$ содержит точку минимума $x=1$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в этой точке.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции в точках $x=0$ и $x=2$:

$y(0) = 2(0 - 1)^2 = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

$y(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Наибольшее значение равно 2.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче $(-\infty; 1]$

На этом промежутке функция монотонно убывает до точки $x=1$. Следовательно, наименьшее значение достигается в крайней правой точке промежутка, то есть при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Когда $x \to -\infty$, значение $(x-1)^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху на данном луче.

Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[0; +\infty)$

Этот промежуток включает в себя точку минимума параболы $x=1$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче равно значению в вершине.

$y_{наим} = y(1) = 0$.

Когда $x \to +\infty$, значение $(x-1)^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y \to +\infty$. Функция не ограничена сверху.

Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [1; 2]

На этом промежутке функция монотонно возрастает, так как он является частью луча $[1; +\infty)$.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 = 0$.

Наибольшее значение достигается в правой крайней точке отрезка, при $x=2$.

$y_{наиб} = y(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.