Номер 21.58, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 21. Как построить график функции у = f(х+l), если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 21.58, страница 128.

Условие.

21.58 Постройте график функции:

а) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)^2;$

б) $y = \frac{x + 3}{x^2 - 9};$

в) $y = \frac{|1 - x|}{x - 1}(x - 3)^2;$

г) $y = \frac{6 - 3x}{x^2 - 4}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)^2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции, раскрыв модуль. Выражение $\frac{|x|}{x}$ равно 1 при $x > 0$ и -1 при $x < 0$. Таким образом, функцию можно представить в виде системы: $y = \begin{cases} (x - 2)^2, & \text{если } x > 0 \\ -(x - 2)^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

3. Построим график для каждой части системы.

Первая часть: $y = (x-2)^2$ при $x > 0$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.
Так как мы рассматриваем эту функцию только для $x>0$, нужно найти значение функции в точке, к которой график стремится при $x \to 0^+$.
$y(0) = (0-2)^2 = 4$.
Поскольку точка $x=0$ не входит в область определения, на графике в точке $(0, 4)$ будет "выколотая" точка (пустой кружок).

Вторая часть: $y = -(x-2)^2$ при $x < 0$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке $(2, 0)$, но эта точка не входит в рассматриваемый интервал $x < 0$.
Найдем значение функции в точке, к которой график стремится при $x \to 0^-$.
$y(0) = -(0-2)^2 = -4$.
На графике в точке $(0, -4)$ также будет "выколотая" точка.

4. Объединим полученные части на одной координатной плоскости.
График состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ — это часть параболы $y=(x-2)^2$ с вершиной в $(2,0)$ и выколотой точкой $(0,4)$. Для $x < 0$ — это часть параболы $y=-(x-2)^2$ с выколотой точкой $(0,-4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол:

• При $x > 0$ это график функции $y = (x-2)^2$, который является параболой с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями вверх. Точка $(0, 4)$ на оси OY выколота.
• При $x < 0$ это график функции $y = -(x-2)^2$, который является параболой с ветвями вниз. Точка $(0, -4)$ на оси OY выколота.

б) $y = \frac{x+3}{x^2 - 9}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$. $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $y = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$.

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$: $y = \frac{1}{x-3}$.

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x-3}$ за исключением точки, где $x = -3$. График функции $y = \frac{1}{x-3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо.

• Вертикальная асимптота: $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Она соответствует значению $x = -3$. Подставим это значение в упрощенную функцию: $y(-3) = \frac{1}{-3-3} = -\frac{1}{6}$. Следовательно, точка с координатами $(-3, -1/6)$ выколота на графике.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{1}{x-3}$ с вертикальной асимптотой $x=3$, горизонтальной асимптотой $y=0$ и выколотой точкой $(-3, -1/6)$.

в) $y = \frac{|1-x|}{x-1}(x-3)^2$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим выражение. Учтем, что $|1-x| = |-(x-1)| = |x-1|$. Тогда $\frac{|1-x|}{x-1} = \frac{|x-1|}{x-1}$. Раскроем модуль: $\frac{|x-1|}{x-1} = \begin{cases} 1, & \text{если } x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \\ -1, & \text{если } x-1 < 0 \Rightarrow x < 1 \end{cases}$

Таким образом, исходная функция равна: $y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{если } x > 1 \\ -(x-3)^2, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

3. Построим график для каждой части.

Первая часть: $y = (x-3)^2$ при $x > 1$.
Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(3, 0)$. Точка $(3,0)$ принадлежит данному промежутку. Найдем предел функции при $x \to 1^+$. $y(1) = (1-3)^2 = 4$. Так как $x=1$ не входит в ОДЗ, точка $(1, 4)$ будет выколотой.

Вторая часть: $y = -(x-3)^2$ при $x < 1$.
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(3, 0)$ (которая не принадлежит данному промежутку). Найдем предел функции при $x \to 1^-$. $y(1) = -(1-3)^2 = -4$. Точка $(1, -4)$ будет выколотой.

4. Объединим графики. Для $x > 1$ строим параболу $y=(x-3)^2$ с выколотой точкой $(1,4)$. Для $x < 1$ строим параболу $y=-(x-3)^2$ с выколотой точкой $(1,-4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол:

• При $x > 1$ это график функции $y = (x-3)^2$ (парабола с вершиной в $(3, 0)$ и ветвями вверх) с выколотой точкой $(1, 4)$.
• При $x < 1$ это график функции $y = -(x-3)^2$ (парабола с ветвями вниз) с выколотой точкой $(1, -4)$.

г) $y = \frac{6-3x}{x^2-4}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = \frac{3(2-x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}$.

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x-2)$: $y = \frac{-3}{x+2}$.

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{-3}{x+2}$ за исключением точки, где $x=2$. График функции $y = \frac{-3}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-3}{x}$ на 2 единицы влево.

• Вертикальная асимптота: $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Так как коэффициент в числителе отрицательный ($-3 < 0$), ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Она соответствует значению $x = 2$. Подставим это значение в упрощенную функцию: $y(2) = \frac{-3}{2+2} = -\frac{3}{4}$. Следовательно, точка с координатами $(2, -3/4)$ выколота на графике.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{-3}{x+2}$ с вертикальной асимптотой $x=-2$, горизонтальной асимптотой $y=0$ и выколотой точкой $(2, -3/4)$.