Номер ?1, страница 98, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 6. Характеристики электрических цепей. Параграф 69. Лабораторные и исследовательские работы. Вопросы для обсуждения - номер ?1, страница 98.

Условие.

Какой проводник имеет большее сопротивление: медный сплошной стержень или медная трубка, внешний диаметр которой равен диаметру стержня? Длину обоих проводников считайте одинаковой.

Решение.

Дано:

Медный сплошной стержень и медная трубка.
Материал (медь): $\rho_{стержня} = \rho_{трубки} = \rho$
Длина: $l_{стержня} = l_{трубки} = l$
Диаметр стержня: $d_{стержня} = d$
Внешний диаметр трубки: $d_{внеш} = d$
Внутренний диаметр трубки: $d_{внутр} > 0$

Найти:

Сравнить сопротивления стержня $R_{стержня}$ и трубки $R_{трубки}$.

Решение:

Электрическое сопротивление проводника $\text{R}$ рассчитывается по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

В условиях задачи оба проводника изготовлены из одного и того же материала (меди) и имеют одинаковую длину. Это означает, что величины $\rho$ и $\text{l}$ для них одинаковы. Следовательно, сопротивление будет зависеть только от площади поперечного сечения $\text{S}$ и будет обратно пропорционально ей: $R \sim \frac{1}{S}$. Это значит, что проводник с меньшей площадью поперечного сечения будет обладать большим сопротивлением.

Сравним площади поперечных сечений стержня и трубки.

1. Площадь поперечного сечения сплошного стержня ($S_{стержня}$) — это площадь круга с диаметром $\text{d}$: $S_{стержня} = \frac{\pi d^2}{4}$.

2. Площадь поперечного сечения трубки ($S_{трубки}$) — это площадь кольца. Она равна разности между площадью внешнего круга (диаметром $d_{внеш}$) и площадью внутреннего пустого пространства (диаметром $d_{внутр}$): $S_{трубки} = \frac{\pi d_{внеш}^2}{4} - \frac{\pi d_{внутр}^2}{4}$. Поскольку по условию $d_{внеш} = d_{стержня} = d$, то: $S_{трубки} = \frac{\pi d^2}{4} - \frac{\pi d_{внутр}^2}{4}$.

Сравнивая выражения для площадей, видим, что площадь сечения трубки меньше площади сечения стержня на величину площади внутреннего отверстия: $S_{стержня} = \frac{\pi d^2}{4}$ $S_{трубки} = S_{стержня} - \frac{\pi d_{внутр}^2}{4}$ Так как трубка является полой, $d_{внутр} > 0$, и, следовательно, $S_{трубки} < S_{стержня}$.

Поскольку сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения, из неравенства $S_{трубки} < S_{стержня}$ следует, что $R_{трубки} > R_{стержня}$.

Ответ: Большее сопротивление имеет медная трубка, так как при одинаковых внешнем диаметре и длине ее площадь поперечного сечения (по которой проходит ток) меньше, чем у сплошного стержня.