Разветвлённые электрические цепи, страница 93, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 6. Характеристики электрических цепей. Параграф 69. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 93.

Условие.

РАЗВЕТВЛЁННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Основная идея, используемая при рас-чётах сложных электрических цепей, за-ключается в замене данной цепи её более простым, но эквивалентным аналогом.

Цель работы

Опытным путём проверить методы рас-чётов электрических цепей, состоящих из большого числа одинаковых резисторов.

Ход работы

• В качестве оборудования можно исполь-зовать набор, содержащий несколько де-сятков резисторов; необходимое коли-чество коммутационных плат; мульти-метр, используемый в качестве омметра; соединительные провода.

• Используя коммутационную плату, со-берите электрическую цепь, составлен-ную по схеме А. В качестве соединитель-ных проводов (перемычек) можно ис-пользовать медные проволочки.

• С помощью омметра определите сопро-тивление цепи, собранной по схеме А.

• Упростите электрическую цепь А.

• В таблицу запишите результаты изме-рений $R_{экс}$ и значение сопротивления эквивалентной цепи $R_{теор}$.

• Проведите аналогичные измерения для электрических цепей, собранных согласно схемам Б—Е. Результаты изме-рений запишите в таблицу.

• Сделайте выводы об уровне согласия между измеренными значениями сопро-тивления разветвлённых цепей, составленных согласно схемам А—Е, и их эквивалентных цепей.

Схема	Подсказка для упрощения электрической цепи
А. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, R, R, B$)	Используйте правила последо-вательного и параллельного соеди-нения проводников
Б. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, R, R, B$)	Исходная цепь $AB$ заменяется её аналогом, так как перемыч-ка на схеме не обладает сопро-тивлением и ток по резисто-рам на участке $1-2$ идти не будет
В. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, 3, R, 4, B, R$)	Так как на перемычках $1-2$ и $3-4$ нет падения напряже-ния, то точки $\text{1}$ и $\text{2}$, точки $\text{3}$ и $\text{4}$ можно соединить
Г. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, 3, R, 4, B, R$)	На перемычке $3-4$ нет па-дения напряжения, поэтому точки $\text{3}$ и $\text{4}$ в схеме можно соединить
Окончание
Подсказка для упрощения электрической цепи
Д. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, R, 3, R, 4, B, R, R$)	В ряде случаев при расчётах разветвлённых цепей удаётся использовать соображения симметрии. Упрощение цепи Д удаётся осуществить пото-му, что в силу свойств симме-трии схемы падение напряже-ния на участках $1-3$ и $2-4$ оказывается одинаковым. По-этому напряжение на резисто-ре $2-3$ отсутствует. Ток по нему не идёт, и его можно ис-ключить из схемы
Е. (Изображение цепи с обозначениями $A, 1, R, 2, 3, R, 4, 5, R, 6, 7, B, R, R, R$)	Иногда при расчётах развет-влённых электрических цепей удаётся выделить узловые точки, которые можно объеди-нить в одну точку. В схеме Е точки $2, 4, 6$ и $\text{7}$, по сути, и есть одна и та же точка
Ж. Цепь, содержащая одно звено: (Изображение цепи с обозначениями $A, R, R, B$)	Если мы мысленно «отсечём» первое звено цепи, то полу-чим ту же самую цепь, сопро-тивление $R_{AB}$ которой пред-стоит вычислить. Возвратим на прежнее место первое зве-но. В результате получим эк-вивалентную цепь: (Изображение цепи с обозначениями $A, R, R, R_{AB}, B$)
Цепь, содержащая два звена: (Изображение цепи с обозначениями $A, R, R, R, R, B$)
Цепь, содержащая несколько одинаковых звеньев: (Изображение цепи с обозначениями $A, R, R, R, \dots, R, R, \dots, B$)

• Составьте электрическую цепь (согласно схеме Ж), содержащую одно звено, затем подключите в цепь два одинаковых звена, три и т. д. Проведите анало-гичные измерения для цепи (согласно схеме Ж), последовательно увеличивая чис-ло звеньев.

• С помощью омметра измерьте сопротивление в цепях, содержащих разное коли-чество звеньев.

• Составьте компьютерную программу, которая рассчитывает теоретические значения сопротивления цепи с увеличивающимся числом звеньев. Запишите результат для числа звеньев, равного, например, $100$.

• Сделайте вывод о характере изменения сопротивления цепи, составленной согласно схеме Ж, по мере увеличения числа звеньев.

Таблица 1

Схема	А	Б	В	Г	Д	Е
$R_{теор}$, Ом
$R_{экс}$, Ом

Таблица 2

Число звеньев	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
$R_{теор}$, Ом
$R_{экс}$, Ом

Решение.

А.

Дано:

Электрическая схема А, состоящая из четырех одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

В верхней ветви два резистора соединены последовательно, их общее сопротивление $R_{верх} = R + R = 2R$.
Эта верхняя ветвь подключена параллельно к нижнему резистору $\text{R}$. Их совместное сопротивление $R_{12}$ равно: $R_{12} = \frac{R_{верх} \cdot R}{R_{верх} + R} = \frac{2R \cdot R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$.
Этот участок цепи соединен последовательно с последним резистором $\text{R}$.
Следовательно, полное эквивалентное сопротивление цепи А равно: $R_A = R_{12} + R = \frac{2}{3}R + R = \frac{5}{3}R$.

Ответ: $R_A = \frac{5}{3}R$.

Б.

Дано:

Электрическая схема Б, состоящая из трех одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$ и перемычки.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

В схеме Б два резистора в верхней ветви соединены последовательно. Однако, эта ветвь (участок 1-2) зашунтирована (закорочена) перемычкой, имеющей пренебрежимо малое сопротивление. Весь ток от точки А (1) к точке 2 потечет через перемычку, минуя верхнюю ветвь с резисторами. Таким образом, сопротивление участка 1-2 равно нулю.
Далее ток от точки 2 протекает через один резистор $\text{R}$ к точке B. Следовательно, полное эквивалентное сопротивление цепи Б равно сопротивлению этого единственного резистора. $R_Б = R$.

Ответ: $R_Б = R$.

В.

Дано:

Электрическая схема В, состоящая из трех одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$ и перемычек.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

Проанализируем схему В. Первый резистор (между точками 1 и 3) зашунтирован перемычкой, соединяющей точки А(1) и 3. Следовательно, его сопротивление можно не учитывать. Ток потечет от А к точке 3 через перемычку.
Третий резистор (между точками 2 и 4) также зашунтирован перемычкой, соединяющей точки 2 и В(4). Его сопротивление также не учитывается.
В результате ток течет от точки А через перемычку к точке 3, затем через средний резистор к точке 2, и оттуда через вторую перемычку к точке В. Эквивалентная схема представляет собой только средний резистор. $R_В = R$.

Ответ: $R_В = R$.

Г.

Дано:

Электрическая схема Г, состоящая из четырех одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$ и перемычек.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

В схеме Г два резистора между точками А(1) и 3 соединены параллельно. Их общее сопротивление $R_{A3} = \frac{R \cdot R}{R+R} = \frac{R}{2}$.
Резистор между точками 3 и 2 зашунтирован перемычкой, соединяющей эти же точки. Его сопротивление не учитывается.
Резистор между точками 2 и В(4) зашунтирован перемычкой, соединяющей эти же точки. Его сопротивление также не учитывается.
Таким образом, ток от А проходит через параллельные резисторы к точке 3, которая через перемычки соединена с точкой В. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению участка А-3. $R_Г = \frac{R}{2}$.

Ответ: $R_Г = \frac{R}{2}$.

Д.

Дано:

Электрическая схема Д, состоящая из пяти одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

Схема Д представляет собой сбалансированный мост Уитстона. Перерисуем схему для наглядности, обозначив узлы. Пусть вход — A(1), выход — B(4).

• От узла А(1) ток разветвляется на два пути: через резистор $R_{12}$ к узлу 2 и через нижний резистор (назовем его $R_{13}$) к узлу 3.
• От узла 2 ток идет через верхний резистор ($R_{24}$) к выходу B(4), а также через центральный резистор $R_{23}$ к узлу 3.
• От узла 3 ток идет через резистор $R_{34}$ к выходу B(4).

Эта схема является мостовой. Так как все сопротивления равны $\text{R}$, выполняется условие баланса моста: $\frac{R_{12}}{R_{13}} = \frac{R_{24}}{R_{34}}$, то есть $\frac{R}{R} = \frac{R}{R}$.
В сбалансированном мосте потенциалы точек 2 и 3 равны, и ток через центральный резистор $R_{23}$ не течет. Этот резистор можно мысленно удалить из схемы.
После удаления центрального резистора схема состоит из двух параллельных ветвей:

• Верхняя ветвь: два последовательных резистора $R_{12}$ и $R_{24}$, общее сопротивление $R_{верх} = R+R = 2R$.
• Нижняя ветвь: два последовательных резистора $R_{13}$ и $R_{34}$, общее сопротивление $R_{нижн} = R+R = 2R$.

Общее эквивалентное сопротивление цепи: $R_Д = \frac{R_{верх} \cdot R_{нижн}}{R_{верх} + R_{нижн}} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

Ответ: $R_Д = R$.

Е.

Дано:

Электрическая схема Е, состоящая из шести одинаковых резисторов сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

Теоретическое эквивалентное сопротивление цепи $R_{теор}$.

Решение:

Согласно подсказке, точки 2, 4, 6 и 7(B) можно считать одной точкой, так как они соединены проводником с нулевым сопротивлением. Обозначим эту общую точку как B.
Будем упрощать схему, двигаясь от правого края к левому (от "дальнего" от входа А конца).

1. Узел 5: к нему подходит резистор $R_{35}$. От него отходят два резистора: $R_{57}$ и $R_{56}$. Так как точки 7 и 6 эквивалентны B, эти два резистора подключены параллельно между узлом 5 и выходом B. Их общее сопротивление $R_{5B} = \frac{R \cdot R}{R+R} = \frac{R}{2}$.
2. Узел 3: к нему подходит резистор $R_{13}$. От него отходят резистор $R_{35}$ и резистор $R_{34}$. Резистор $R_{35}$ последовательно соединен с эквивалентным сопротивлением $R_{5B}$, образуя ветвь сопротивлением $R' = R_{35} + R_{5B} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$. Эта ветвь параллельна резистору $R_{34}$ (который подключен к точке 4, т.е. к B). Эквивалентное сопротивление участка от узла 3 до B: $R_{3B} = \frac{R' \cdot R}{R' + R} = \frac{\frac{3R}{2} \cdot R}{\frac{3R}{2} + R} = \frac{\frac{3R^2}{2}}{\frac{5R}{2}} = \frac{3}{5}R$.
3. Узел 1(А): от него отходят резистор $R_{13}$ и резистор $R_{12}$. Резистор $R_{13}$ последовательно соединен с эквивалентным сопротивлением $R_{3B}$, образуя ветвь сопротивлением $R'' = R_{13} + R_{3B} = R + \frac{3}{5}R = \frac{8}{5}R$. Эта ветвь параллельна резистору $R_{12}$ (который подключен к точке 2, т.е. к B).

Полное эквивалентное сопротивление цепи $R_E$ равно: $R_E = \frac{R'' \cdot R}{R'' + R} = \frac{\frac{8R}{5} \cdot R}{\frac{8R}{5} + R} = \frac{\frac{8R^2}{5}}{\frac{13R}{5}} = \frac{8}{13}R$.

Ответ: $R_E = \frac{8}{13}R$.

Заполнение таблицы 1

Теоретические значения сопротивлений $R_{теор}$ для схем А-Е в долях от $\text{R}$ и в виде десятичных дробей:

• A: $\frac{5}{3}R \approx 1.667R$
• Б: $1R$
• В: $1R$
• Г: $\frac{1}{2}R = 0.5R$
• Д: $1R$
• Е: $\frac{8}{13}R \approx 0.615R$

Заполненная таблица 1 (значения $R_{экс}$ должны быть получены экспериментально):

Схема	А	Б	В	Г	Д	Е
$R_{теор}$	$\frac{5}{3}R$	$\text{R}$	$\text{R}$	$\frac{1}{2}R$	$\text{R}$	$\frac{8}{13}R$
$R_{экс}$, Ом

Вывод об уровне согласия для схем А-Е

Теоретический расчет эквивалентного сопротивления цепей основывается на идеализированной модели (идеальные проводники, одинаковые резисторы). В реальном эксперименте измеренные значения $R_{экс}$ будут незначительно отличаться от теоретических $R_{теор}$ из-за следующих факторов:

• Допуск (погрешность) резисторов: сопротивление реальных резисторов имеет некоторый разброс от номинального значения $\text{R}$.
• Сопротивление соединительных проводов и контактов: оно не равно нулю и вносит дополнительное сопротивление в цепь.
• Погрешность измерительного прибора (омметра).

Ожидается хорошее согласие между теорией и экспериментом: относительное расхождение $\frac{|R_{теор} - R_{экс}|}{R_{теор}}$ должно быть небольшим, в пределах погрешности эксперимента.

Ж. Цепь из N звеньев

Дано:

Электрическая схема Ж, состоящая из N одинаковых звеньев. Каждое звено состоит из двух резисторов сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

Формулу для теоретического эквивалентного сопротивления цепи $R_{Ж, N}$ в зависимости от числа звеньев N. Найти предел сопротивления при $N \to \infty$.

Решение:

Будем находить эквивалентное сопротивление методом сворачивания цепи справа налево. Пусть $Y_k$ — эквивалентное сопротивление части цепи, начиная с k-го горизонтального резистора и до конца.

• Для последнего, N-го звена, сопротивление равно сумме сопротивлений горизонтального и вертикального резисторов: $Y_N = R + R = 2R$.
• Сопротивление $Y_{N-1}$ складывается из сопротивления (N-1)-го горизонтального резистора и параллельно подключенных к нему (N-1)-го вертикального резистора и сопротивления $Y_N$: $Y_{N-1} = R + \frac{R \cdot Y_N}{R + Y_N} = R + \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = R + \frac{2}{3}R = \frac{5}{3}R$.
• Аналогично для $Y_{N-2}$: $Y_{N-2} = R + \frac{R \cdot Y_{N-1}}{R + Y_{N-1}} = R + \frac{R \cdot \frac{5}{3}R}{R + \frac{5}{3}R} = R + \frac{\frac{5}{3}R^2}{\frac{8}{3}R} = R + \frac{5}{8}R = \frac{13}{8}R$.

Общее сопротивление цепи из N звеньев равно $R_{Ж,N} = Y_1$. Получаем рекуррентную формулу: $Y_k = R + \frac{R \cdot Y_{k+1}}{R+Y_{k+1}}$ с начальным условием $Y_N = 2R$.
Анализ последовательности сопротивлений для N=1, 2, 3... $R_{Ж,1} = 2R = \frac{2}{1}R$
$R_{Ж,2} = \frac{5}{3}R$
$R_{Ж,3} = \frac{13}{8}R$
$R_{Ж,4} = \frac{34}{21}R$
показывает связь с числами Фибоначчи ($F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, ...$). Формула для сопротивления цепи из N звеньев: $R_{Ж,N} = R \frac{F_{2N+1}}{F_{2N}}$.
Для бесконечной цепи ($N \to \infty$), добавление еще одного звена в начале не изменит ее общего сопротивления $R_{Ж,\infty}$. Обозначим $R_{Ж,\infty} = Z$. Тогда: $Z = R + \frac{R \cdot Z}{R + Z}$.
$Z(R+Z) = R(R+Z) + RZ$
$ZR + Z^2 = R^2 + RZ + RZ$
$Z^2 - RZ - R^2 = 0$.
Решая квадратное уравнение относительно Z (и выбирая положительный корень, так как сопротивление не может быть отрицательным): $Z = \frac{R + \sqrt{R^2 - 4(1)(-R^2)}}{2} = \frac{R + \sqrt{5R^2}}{2} = R \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Этот предел равен $R \cdot \phi$, где $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ — золотое сечение.

Ответ: $R_{Ж,N} = R \frac{F_{2N+1}}{F_{2N}}$, где $F_k$ — k-е число Фибоначчи. При $N \to \infty$, $R_{Ж,\infty} = R \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Заполнение таблицы 2

Рассчитаем теоретические значения сопротивления $R_{теор}$ для цепи Ж с разным числом звеньев (в долях от R):

Число звеньев	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	100
$R_{теор}$	$2.000 R$	$1.667 R$	$1.625 R$	$1.619 R$	$1.618 R$	$1.618 R$	$1.618 R$	$1.618 R$	$1.618 R$	$1.618 R$	...	$1.618 R$
$R_{экс}$, Ом

Компьютерная программа

Программа для расчета теоретического значения сопротивления цепи Ж с N звеньями может быть основана на рекуррентной формуле. Алгоритм:

1. Запросить у пользователя число звеньев N и сопротивление одного резистора R.
2. Инициализировать переменную `Y` (сопротивление "хвоста" цепи) значением для последнего звена: `Y = 2 * R`.
3. Запустить цикл от `i = N-1` до 1 (включительно). В цикле на каждой итерации пересчитывать `Y` по формуле, "наращивая" цепь на одно звено: `Y = R + (R * Y) / (R + Y)`.
4. После окончания цикла переменная `Y` будет содержать итоговое сопротивление $R_{Ж,N}$.
5. Вывести результат.

Для расчета сопротивления для N=100, программа выполнит этот цикл 99 раз.

Вывод о характере изменения сопротивления цепи Ж

С увеличением числа звеньев N в цепи Ж ее общее эквивалентное сопротивление $R_{Ж,N}$ уменьшается. Начальное значение для одного звена составляет $2R$. Затем сопротивление быстро сходится (стремится) к предельному значению $R_{Ж,\infty} = R \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 R$. Уже при N=5-6 звеньях сопротивление цепи практически перестает отличаться от этого предельного значения. Это означает, что для достаточно длинной цепи ее сопротивление не зависит от точной длины и определяется только сопротивлением R и структурой звена.