Номер 15, страница 86, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 6. Характеристики электрических цепей. Параграф 68. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 15, страница 86.

Условие.

15. Определите силу тока и направление тока во всех участках цепи, изображённой на рисунке. Значения сопротивлений и ЭДС указаны на схеме.

Решение.

Дано:

Сопротивления резисторов: $R_1 = 1$ Ом, $R_2 = 2$ Ом, $R_3 = 3$ Ом, $R_4 = 4$ Ом.

ЭДС источников тока: $E_1 = 9$ В, $E_2 = 20$ В.

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Силу тока $\text{I}$ и направление тока во всех участках цепи.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Обозначим узлы схемы: A - верхний левый, B - верхний правый, C - центральный, D - нижний (общий провод). Примем потенциал узла D равным нулю: $\phi_D = 0$ В.

Потенциалы узлов A и B определяются ЭДС источников, подключенных к этим узлам, так как источники идеальные (внутреннее сопротивление равно нулю):

$\phi_A = E_1 = 9$ В

$\phi_B = E_2 = 20$ В

Теперь необходимо найти потенциал в узле C, $\phi_C$. Для этого запишем первый закон Кирхгофа (закон токов) для узла C. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Будем считать токи, вытекающие из узла, положительными.

$I_{CA} + I_{CB} + I_{CD} = 0$

Выразим токи через разности потенциалов и сопротивления, используя закон Ома для участка цепи:

$I_{CA} = \frac{\phi_C - \phi_A}{R_3} = \frac{\phi_C - 9}{3}$

$I_{CB} = \frac{\phi_C - \phi_B}{R_2} = \frac{\phi_C - 20}{2}$

$I_{CD} = \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4} = \frac{\phi_C - 0}{4} = \frac{\phi_C}{4}$

Подставим эти выражения в уравнение для узла C:

$\frac{\phi_C - 9}{3} + \frac{\phi_C - 20}{2} + \frac{\phi_C}{4} = 0$

Для решения этого уравнения умножим все его члены на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2, 4), которое равно 12:

$12 \cdot \frac{\phi_C - 9}{3} + 12 \cdot \frac{\phi_C - 20}{2} + 12 \cdot \frac{\phi_C}{4} = 0$

$4(\phi_C - 9) + 6(\phi_C - 20) + 3\phi_C = 0$

$4\phi_C - 36 + 6\phi_C - 120 + 3\phi_C = 0$

$13\phi_C - 156 = 0$

$13\phi_C = 156$

$\phi_C = \frac{156}{13} = 12$ В

Зная потенциалы во всех узлах, можем определить токи во всех участках цепи.

Ток через резистор 1 Ом

Этот резистор ($R_1$) подключен между узлами A и B. Ток направлен от узла с большим потенциалом к узлу с меньшим. Так как $\phi_B > \phi_A$ ($20 \text{ В} > 9 \text{ В}$), ток течет от B к A (справа налево). Величина тока равна:

$I_1 = \frac{\phi_B - \phi_A}{R_1} = \frac{20 \text{ В} - 9 \text{ В}}{1 \text{ Ом}} = 11 \text{ А}$

Ответ: 11 А, направлен справа налево.

Ток через резистор 3 Ом

Этот резистор ($R_3$) подключен между узлами A и C. Так как $\phi_C > \phi_A$ ($12 \text{ В} > 9 \text{ В}$), ток течет от C к A (справа налево). Величина тока равна:

$I_3 = \frac{\phi_C - \phi_A}{R_3} = \frac{12 \text{ В} - 9 \text{ В}}{3 \text{ Ом}} = \frac{3 \text{ В}}{3 \text{ Ом}} = 1 \text{ А}$

Ответ: 1 А, направлен справа налево.

Ток через резистор 2 Ом

Этот резистор ($R_2$) подключен между узлами B и C. Так как $\phi_B > \phi_C$ ($20 \text{ В} > 12 \text{ В}$), ток течет от B к C (справа налево). Величина тока равна:

$I_2 = \frac{\phi_B - \phi_C}{R_2} = \frac{20 \text{ В} - 12 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = \frac{8 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 4 \text{ А}$

Ответ: 4 А, направлен справа налево.

Ток через резистор 4 Ом

Этот резистор ($R_4$) подключен между узлами C и D. Так как $\phi_C > \phi_D$ ($12 \text{ В} > 0 \text{ В}$), ток течет от C к D (сверху вниз). Величина тока равна:

$I_4 = \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4} = \frac{12 \text{ В} - 0 \text{ В}}{4 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

Ответ: 3 А, направлен сверху вниз.

Ток через источник ЭДС 9 В

Для нахождения тока через источник $E_1$, применим первый закон Кирхгофа для узла A. Ток, вытекающий из узла A в ветвь с источником, равен сумме токов, втекающих в узел A из других ветвей. В узел A втекают токи $I_1 = 11$ А (от узла B) и $I_3 = 1$ А (от узла C).

$I_{E1} = I_1 + I_3 = 11 \text{ А} + 1 \text{ А} = 12 \text{ А}$

Этот ток течет из узла A в узел D, то есть от положительного полюса источника к отрицательному.

Ответ: 12 А, направлен сверху вниз.

Ток через источник ЭДС 20 В

Для нахождения тока через источник $E_2$, применим первый закон Кирхгофа для узла B. Ток, втекающий в узел B из ветви с источником, равен сумме токов, вытекающих из узла B в другие ветви. Из узла B вытекают токи $I_1 = 11$ А (к узлу A) и $I_2 = 4$ А (к узлу C).

$I_{E2} = I_1 + I_2 = 11 \text{ А} + 4 \text{ А} = 15 \text{ А}$

Этот ток течет из узла D в узел B, то есть от отрицательного полюса источника к положительному.

Ответ: 15 А, направлен снизу вверх.