Номер 29.43, страница 153 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 29. Глаз. Оптические приборы - номер 29.43, страница 153.

Условие.

29.43. Фотограф, стоящий в 10 м от дороги, фотографирует велогонщика, проезжающего мимо него со скоростью 36 км/ч. Фокусное расстояние объектива фотоаппарата 50 мм. Какова длина изображения велосипеда на пленке, если длина велосипеда 2 м? На какое время должен открываться при съемке затвор фотоаппарата, чтобы «размытие» изображения на пленке не превышало 0,1 мм?

Решение.

Дано:

Расстояние от фотографа до дороги (объекта), $d = 10$ м

Скорость велогонщика, $v = 36$ км/ч

Фокусное расстояние объектива, $F = 50$ мм

Длина велосипеда, $H = 2$ м

Допустимое размытие изображения, $Δh = 0,1$ мм

Перевод в систему СИ:

$v = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 10 \, м/с$

$F = 50 \, мм = 0,05 \, м$

$Δh = 0,1 \, мм = 0,0001 \, м$

Найти:

1. Длину изображения велосипеда, $\text{h}$

2. Время, на которое должен открываться затвор, $Δt$

Решение:

Какова длина изображения велосипеда на пленке, если длина велосипеда 2 м?

Для определения размера изображения воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы связывает расстояние от объекта до линзы $\text{d}$, расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ и фокусное расстояние $\text{F}$:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Выразим расстояние от линзы до изображения $\text{f}$:

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF} \implies f = \frac{dF}{d-F} $

Линейное увеличение линзы $Γ$ определяется как отношение размера изображения $\text{h}$ к размеру объекта $\text{H}$ и также равно отношению расстояния до изображения $\text{f}$ к расстоянию до объекта $\text{d}$:

$ Γ = \frac{h}{H} = \frac{f}{d} $

Отсюда можно выразить размер изображения $\text{h}$:

$ h = H \cdot \frac{f}{d} $

Подставим в эту формулу выражение для $\text{f}$, полученное из формулы тонкой линзы:

$ h = H \cdot \frac{1}{d} \cdot \frac{dF}{d-F} = \frac{HF}{d-F} $

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$ h = \frac{2 \, м \cdot 0,05 \, м}{10 \, м - 0,05 \, м} = \frac{0,1 \, м^2}{9,95 \, м} \approx 0,01005 \, м $

Переведем результат в миллиметры:

$ h \approx 0,01005 \, м \cdot 1000 \frac{мм}{м} = 10,05 \, мм $

Ответ: длина изображения велосипеда на пленке составляет примерно 10,05 мм.

На какое время должен открываться при съемке затвор фотоаппарата, чтобы «размытие» изображения на пленке не превышало 0,1 мм?

Размытие изображения происходит из-за того, что за время, пока затвор открыт ($Δt$), велогонщик успевает проехать некоторое расстояние $ΔS$.

$ ΔS = v \cdot Δt $

Это смещение объекта $ΔS$ приводит к смещению (размытию) изображения на пленке на величину $Δh$. Связь между смещением объекта и смещением изображения определяется тем же линейным увеличением $Γ$:

$ Γ = \frac{Δh}{ΔS} = \frac{f}{d} $

Подставим в эту формулу выражение для $ΔS$:

$ \frac{Δh}{v \cdot Δt} = \frac{f}{d} $

Выразим из этого уравнения время $Δt$:

$ Δt = \frac{Δh \cdot d}{f \cdot v} $

Используем ранее найденное выражение для $f = \frac{dF}{d-F}$:

$ Δt = \frac{Δh \cdot d}{v} \cdot \frac{1}{f} = \frac{Δh \cdot d}{v} \cdot \frac{d-F}{dF} = \frac{Δh(d-F)}{vF} $

Это максимальное время, при котором размытие не превысит заданного значения. Подставим числовые значения:

$ Δt = \frac{0,0001 \, м \cdot (10 \, м - 0,05 \, м)}{10 \, м/с \cdot 0,05 \, м} = \frac{0,0001 \cdot 9,95}{0,5} \, с = \frac{0,000995}{0,5} \, с = 0,00199 \, с $

Округлим полученное значение:

$ Δt \approx 0,002 \, с = 2 \, мс $

Ответ: время открытия затвора не должно превышать 0,002 с (или 2 мс).