Теоретическое исследование, страница 108 - гдз по физике 8 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 6. Электрический заряд. Электрическое поле. Параграф 30. Однородное электрическое поле. Работа сил однородного электрического поля. Вопросы - страница 108.

Условие.

Теоретическое исследование

В однородном электрическом поле из точки $\text{M}$ в точку $\text{N}$ перемещают положительный точечный заряд двумя способами. Один раз он движется по прямой $\text{MN}$, другой раз — по траектории $MKLN$ (рис. 82).

а) Докажите, что при перемещении вдоль прямых линий $\text{MK}$ и $\text{LN}$, перпендикулярных линиям напряжённости поля, работа не совершается.

б) Докажите, что при перемещении по прямым, параллельным линиям напряжённости поля, совершается одинаковая работа.

в) Зависит ли работа силы, действующей со стороны поля, от формы траектории движущегося заряда?

Рис. 82

Решение.

Решение

а) Докажите, что при перемещении вдоль прямых линий MK и LN, перпендикулярных линиям напряжённости поля, работа не совершается.

Работа $\text{A}$ силы $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$ определяется формулой скалярного произведения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos{\alpha}$

где $\text{F}$ – модуль силы, $\text{s}$ – модуль перемещения, а $\alpha$ – угол между вектором силы и вектором перемещения.

В однородном электрическом поле с напряжённостью $\vec{E}$ на положительный точечный заряд $\text{q}$ действует сила $\vec{F} = q\vec{E}$. Эта сила сонаправлена с вектором напряжённости $\vec{E}$.

На рисунке 82 линии напряжённости $\vec{E}$ (и, следовательно, сила $\vec{F}$) направлены горизонтально влево. Траектории движения MK и LN являются вертикальными прямыми.

При перемещении заряда по отрезку MK вектор перемещения $\vec{s}_{MK}$ направлен вертикально вниз. Угол между горизонтальной силой $\vec{F}$ и вертикальным перемещением $\vec{s}_{MK}$ равен $\alpha = 90^\circ$.

Работа, совершаемая полем на этом участке, равна:

$A_{MK} = F \cdot s_{MK} \cdot \cos{90^\circ} = F \cdot s_{MK} \cdot 0 = 0$.

При перемещении заряда по отрезку LN вектор перемещения $\vec{s}_{LN}$ направлен вертикально вверх. Угол между горизонтальной силой $\vec{F}$ и вертикальным перемещением $\vec{s}_{LN}$ также равен $\alpha = 90^\circ$.

Работа, совершаемая полем на этом участке, равна:

$A_{LN} = F \cdot s_{LN} \cdot \cos{90^\circ} = F \cdot s_{LN} \cdot 0 = 0$.

Таким образом, при перемещении заряда по траекториям, перпендикулярным линиям напряжённости электрического поля, работа силы поля равна нулю.

Ответ: Работа не совершается, так как сила, действующая на заряд со стороны поля, перпендикулярна вектору перемещения на этих участках, и, следовательно, косинус угла между ними равен нулю.

б) Докажите, что при перемещении по прямым, параллельным линиям напряжённости поля, совершается одинаковая работа.

В данном контексте вопрос подразумевает сравнение работы на участках MN и KL, которые оба параллельны линиям напряжённости и, судя по рисунку, имеют одинаковую длину. Обозначим эту длину как $\text{d}$.

Рассмотрим перемещение по прямой MN. Вектор перемещения $\vec{s}_{MN}$ направлен параллельно вектору силы $\vec{F} = q\vec{E}$ (оба направлены влево). Угол между силой и перемещением $\alpha = 0^\circ$.

Работа, совершаемая полем на этом участке:

$A_{MN} = F \cdot s_{MN} \cdot \cos{0^\circ} = (qE) \cdot d \cdot 1 = qEd$.

Рассмотрим перемещение по прямой KL. Вектор перемещения $\vec{s}_{KL}$ также направлен влево, параллельно вектору силы $\vec{F}$. Длина отрезка KL равна длине отрезка MN, то есть $s_{KL} = d$. Угол между силой и перемещением также $\alpha = 0^\circ$.

Работа, совершаемая полем на этом участке:

$A_{KL} = F \cdot s_{KL} \cdot \cos{0^\circ} = (qE) \cdot d \cdot 1 = qEd$.

Так как поле однородно, сила $F=qE$ постоянна во всех точках пространства. Поскольку перемещения на участках MN и KL одинаковы по модулю ($s_{MN} = s_{KL} = d$) и направлению относительно поля ($\alpha=0^\circ$ в обоих случаях), то и работа, совершаемая полем, на этих участках одинакова: $A_{MN} = A_{KL}$.

Ответ: В однородном поле работа на параллельных линиям поля участках одинаковой длины и направления (относительно поля) одинакова, так как сила постоянна, а работа зависит только от величины силы, перемещения и угла между ними, которые в данном случае совпадают.

в) Зависит ли работа силы, действующей со стороны поля, от формы траектории движущегося заряда?

Чтобы ответить на этот вопрос, сравним работу, совершаемую полем при перемещении заряда из точки M в точку N по двум разным траекториям: по прямой MN и по ломаной MKLN.

1. Работа при перемещении по прямой MN, как мы выяснили в пункте б), равна:

$A_{MN} = qEd$

2. Работа при перемещении по ломаной MKLN равна сумме работ на отдельных участках:

$A_{MKLN} = A_{MK} + A_{KL} + A_{LN}$

Из пункта а) мы доказали, что работа на вертикальных участках, перпендикулярных полю, равна нулю: $A_{MK} = 0$ и $A_{LN} = 0$.

Из пункта б) мы знаем, что работа на горизонтальном участке KL равна $A_{KL} = qEd$.

Следовательно, полная работа по траектории MKLN равна:

$A_{MKLN} = 0 + qEd + 0 = qEd$

Сравнивая работы, получаем $A_{MN} = A_{MKLN}$. Работа по перемещению заряда из точки M в точку N не зависит от выбранной траектории.

Этот вывод является общим свойством электростатического поля. Электростатическое поле является потенциальным (консервативным), а работа сил такого поля не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда.

Ответ: Нет, работа силы, действующей со стороны электростатического поля, не зависит от формы траектории движущегося заряда, а зависит только от его начального и конечного положения.