Номер 2, страница 128 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

2. Какие сопротивления можно получить, имея три резистора по 12 Ом?

(Ответ: $R = 36 \text{ Ом}$, $18 \text{ Ом}$, $8 \text{ Ом}$, $4 \text{ Ом}$)

Дано:

Количество резисторов: $n=3$
Сопротивление каждого резистора: $R = 12$ Ом

Найти:

Все возможные значения общего сопротивления $R_{общ}$.

Решение:

Чтобы найти все возможные значения общего сопротивления, необходимо рассмотреть все возможные схемы соединения трех данных резисторов. Существует четыре уникальных способа их соединения.

1. Все три резистора соединены последовательно.
При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных резисторов.
$R_{общ1} = R + R + R = 3 \cdot R$
$R_{общ1} = 3 \cdot 12 \text{ Ом} = 36 \text{ Ом}$

2. Все три резистора соединены параллельно.
При параллельном соединении величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого резистора.
$\frac{1}{R_{общ2}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
$R_{общ2} = \frac{R}{3} = \frac{12 \text{ Ом}}{3} = 4 \text{ Ом}$

3. Два резистора соединены параллельно, и к ним последовательно подключен третий.
Сначала вычислим сопротивление двух параллельно соединенных резисторов ($R_{пар}$).
$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$
$R_{пар} = \frac{R}{2} = \frac{12 \text{ Ом}}{2} = 6 \text{ Ом}$
Затем к этому участку последовательно подключается третий резистор. Общее сопротивление ($R_{общ3}$) будет суммой сопротивлений $R_{пар}$ и $R$.
$R_{общ3} = R_{пар} + R = 6 \text{ Ом} + 12 \text{ Ом} = 18 \text{ Ом}$

4. Два резистора соединены последовательно, и к ним параллельно подключен третий.
Сначала вычислим сопротивление двух последовательно соединенных резисторов ($R_{посл}$).
$R_{посл} = R + R = 2 \cdot R = 2 \cdot 12 \text{ Ом} = 24 \text{ Ом}$
Затем к этому участку параллельно подключается третий резистор. Общее сопротивление ($R_{общ4}$) найдем по формуле для параллельного соединения $R_{посл}$ и $R$.
$\frac{1}{R_{общ4}} = \frac{1}{R_{посл}} + \frac{1}{R} = \frac{1}{24 \text{ Ом}} + \frac{1}{12 \text{ Ом}}$
Приводя к общему знаменателю:
$\frac{1}{R_{общ4}} = \frac{1}{24 \text{ Ом}} + \frac{2}{24 \text{ Ом}} = \frac{3}{24 \text{ Ом}} = \frac{1}{8 \text{ Ом}}$
$R_{общ4} = 8 \text{ Ом}$

Ответ: имея три резистора по 12 Ом, можно получить следующие сопротивления: 36 Ом, 18 Ом, 8 Ом и 4 Ом.