Номер 2, страница 199 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

2. Может ли человек бежать впереди своей тени?

2. Да, человек может бежать впереди своей тени. Ответ на этот вопрос зависит от расположения источника света относительно человека. Рассмотрим два основных сценария.

Сценарий 1: Источник света находится перед человеком.

Тень — это область пространства, в которую не попадает свет из-за наличия непрозрачного препятствия. Тень всегда отбрасывается в сторону, противоположную источнику света. Если человек бежит навстречу источнику света (например, навстречу заходящему Солнцу или к уличному фонарю), его тело будет блокировать свет, и тень будет отбрасываться позади него. В этом случае человек физически находится впереди своей тени и бежит впереди нее.

Сценарий 2: Источник света находится позади человека.

Если источник света (например, восходящее Солнце) находится за спиной у бегущего человека, тень будет отбрасываться впереди него. В этом случае возникает другой вопрос: может ли человек обогнать свою тень? Ответ — нет. Более того, в некоторых случаях кончик тени движется даже быстрее самого человека.

Давайте докажем это математически на примере человека, бегущего от уличного фонаря.

Пусть высота фонаря равна $H$, а рост человека — $h$. Человек бежит со скоростью $v$. В некоторый момент времени он находится на расстоянии $x$ от основания фонаря. Длина его тени на земле равна $S$.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Один образован столбом фонаря и расстоянием до кончика тени ($H$ и $x+S$), другой — человеком и длиной его тени ($h$ и $S$). Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{x+S} = \frac{h}{S}$

Выразим из этой пропорции длину тени $S$:

$H \cdot S = h \cdot (x + S)$

$H \cdot S = h \cdot x + h \cdot S$

$S(H-h) = h \cdot x$

$S = \frac{h \cdot x}{H-h}$

Положение кончика тени $X_{tip}$ относительно фонаря равно сумме расстояния от фонаря до человека и длины тени: $X_{tip} = x + S$.

$X_{tip} = x + \frac{h \cdot x}{H-h} = x \left( 1 + \frac{h}{H-h} \right) = x \left( \frac{H-h+h}{H-h} \right) = x \frac{H}{H-h}$

Скорость движения кончика тени $v_{tip}$ — это производная его положения по времени:

$v_{tip} = \frac{dX_{tip}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( x \frac{H}{H-h} \right)$

Поскольку $H$ и $h$ — постоянные величины, а $\frac{dx}{dt}$ — это скорость человека $v$, получаем:

$v_{tip} = v \cdot \frac{H}{H-h}$

Так как фонарь выше человека ($H > h$), то знаменатель $(H-h)$ — положительное число, меньшее, чем $H$. Следовательно, дробь $\frac{H}{H-h}$ всегда больше единицы. Это означает, что скорость кончика тени $v_{tip}$ всегда больше скорости человека $v$. Например, если фонарь вдвое выше человека ($H = 2h$), то скорость тени будет вдвое больше скорости человека ($v_{tip} = v \cdot \frac{2h}{2h-h} = 2v$).

Таким образом, обогнать тень, которая находится впереди, невозможно.

Ответ: Да, человек может бежать впереди своей тени. Это возможно, если источник света (например, Солнце или фонарь) находится перед человеком. В этом случае тень будет отбрасываться позади него. Однако если источник света находится сзади, и тень отбрасывается вперёд, то обогнать её невозможно, так как она движется с той же или даже большей скоростью, чем человек.