Страница 199 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

УПРАЖНЕНИЕ 45

1. В солнечный день длина тени на земле от вертикально стоящего шеста высотой 0,8 м равна 0,4 м. Чему равна высота дерева, длина тени от которого в 5 раз больше высоты шеста?

1. Дано:

Высота шеста $h_1 = 0,8 \text{ м}$

Длина тени шеста $l_1 = 0,4 \text{ м}$

Соотношение для тени дерева: $l_2 = 5 \cdot h_1$

Найти:

Высота дерева $h_2$

Решение:

Поскольку солнечные лучи параллельны, угол, под которым они падают на землю, одинаков как для шеста, так и для дерева. Шест и дерево, стоящие вертикально, образуют со своими тенями два прямоугольных треугольника. Эти треугольники подобны, так как у них равны по два угла (прямой угол и угол падения солнечных лучей).

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта к длине его тени является величиной постоянной:

$\frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2}$

Сначала найдем длину тени дерева ($l_2$), используя данные из условия задачи:

$l_2 = 5 \cdot h_1 = 5 \cdot 0,8 \text{ м} = 4 \text{ м}$

Теперь, зная длину тени дерева, мы можем найти его высоту ($h_2$), выразив ее из пропорции:

$h_2 = l_2 \cdot \frac{h_1}{l_1}$

Подставим числовые значения:

$h_2 = 4 \text{ м} \cdot \frac{0,8 \text{ м}}{0,4 \text{ м}} = 4 \cdot 2 \text{ м} = 8 \text{ м}$

Ответ: высота дерева равна 8 м.

2. Может ли человек бежать впереди своей тени?

2. Да, человек может бежать впереди своей тени. Ответ на этот вопрос зависит от расположения источника света относительно человека. Рассмотрим два основных сценария.

Сценарий 1: Источник света находится перед человеком.

Тень — это область пространства, в которую не попадает свет из-за наличия непрозрачного препятствия. Тень всегда отбрасывается в сторону, противоположную источнику света. Если человек бежит навстречу источнику света (например, навстречу заходящему Солнцу или к уличному фонарю), его тело будет блокировать свет, и тень будет отбрасываться позади него. В этом случае человек физически находится впереди своей тени и бежит впереди нее.

Сценарий 2: Источник света находится позади человека.

Если источник света (например, восходящее Солнце) находится за спиной у бегущего человека, тень будет отбрасываться впереди него. В этом случае возникает другой вопрос: может ли человек обогнать свою тень? Ответ — нет. Более того, в некоторых случаях кончик тени движется даже быстрее самого человека.

Давайте докажем это математически на примере человека, бегущего от уличного фонаря.

Пусть высота фонаря равна $H$, а рост человека — $h$. Человек бежит со скоростью $v$. В некоторый момент времени он находится на расстоянии $x$ от основания фонаря. Длина его тени на земле равна $S$.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Один образован столбом фонаря и расстоянием до кончика тени ($H$ и $x+S$), другой — человеком и длиной его тени ($h$ и $S$). Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{x+S} = \frac{h}{S}$

Выразим из этой пропорции длину тени $S$:

$H \cdot S = h \cdot (x + S)$

$H \cdot S = h \cdot x + h \cdot S$

$S(H-h) = h \cdot x$

$S = \frac{h \cdot x}{H-h}$

Положение кончика тени $X_{tip}$ относительно фонаря равно сумме расстояния от фонаря до человека и длины тени: $X_{tip} = x + S$.

$X_{tip} = x + \frac{h \cdot x}{H-h} = x \left( 1 + \frac{h}{H-h} \right) = x \left( \frac{H-h+h}{H-h} \right) = x \frac{H}{H-h}$

Скорость движения кончика тени $v_{tip}$ — это производная его положения по времени:

$v_{tip} = \frac{dX_{tip}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( x \frac{H}{H-h} \right)$

Поскольку $H$ и $h$ — постоянные величины, а $\frac{dx}{dt}$ — это скорость человека $v$, получаем:

$v_{tip} = v \cdot \frac{H}{H-h}$

Так как фонарь выше человека ($H > h$), то знаменатель $(H-h)$ — положительное число, меньшее, чем $H$. Следовательно, дробь $\frac{H}{H-h}$ всегда больше единицы. Это означает, что скорость кончика тени $v_{tip}$ всегда больше скорости человека $v$. Например, если фонарь вдвое выше человека ($H = 2h$), то скорость тени будет вдвое больше скорости человека ($v_{tip} = v \cdot \frac{2h}{2h-h} = 2v$).

Таким образом, обогнать тень, которая находится впереди, невозможно.

Ответ: Да, человек может бежать впереди своей тени. Это возможно, если источник света (например, Солнце или фонарь) находится перед человеком. В этом случае тень будет отбрасываться позади него. Однако если источник света находится сзади, и тень отбрасывается вперёд, то обогнать её невозможно, так как она движется с той же или даже большей скоростью, чем человек.

ЗАДАНИЕ

Возьмите прямоугольный лист чёрной бумаги или плотного картона (размером не менее $10 \times 10 \text{ см}$) и проделайте в самом центре листа круглое отверстие диаметром около 2 мм. Сделайте так, чтобы края отверстия были ровными. В тёмной комнате зажгите свечу, поставьте на расстоянии 0,5 м от стены и перемещайте между стеной и свечой приготовленный лист бумаги с отверстием. Наблюдайте изображение пламени свечи (рис. 134).

Рис. 134

1. Объяснение явления и свойства изображения

Эксперимент, описанный в задании, демонстрирует принцип работы простейшего оптического устройства — камеры-обскуры. Наблюдаемое явление объясняется законом прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется по прямым линиям.

Каждая точка на пламени свечи является источником световых лучей, расходящихся во все стороны. Лист картона является непрозрачным экраном, который блокирует почти все лучи. Только очень узкие пучки света от каждой точки пламени могут пройти сквозь маленькое отверстие в центре картона.

Как показано на рисунке 134, лучи от верхней части пламени, пройдя через отверстие, продолжают своё прямолинейное движение и попадают на нижнюю часть стены (экрана). Аналогично, лучи от нижней части пламени попадают на верхнюю часть стены. В результате на стене формируется изображение пламени.

Это изображение обладает следующими свойствами:

• Действительное — оно образуется на экране пересечением реальных световых лучей.
• Перевёрнутое — верх и низ объекта меняются местами на изображении.
• Зеркальное — левая и правая стороны объекта также меняются местами.

Ответ: На стене возникает действительное, перевёрнутое изображение пламени свечи. Это происходит благодаря тому, что свет распространяется прямолинейно и малое отверстие пропускает на стену только определённые лучи от каждой точки объекта, формируя его проекцию.

2. Зависимость характеристик изображения от положения картона

Перемещая лист картона между свечой и стеной, можно заметить, что размер и яркость изображения меняются. Эта зависимость может быть описана математически с помощью подобия треугольников.

Обозначим:

• $h_{o}$ — реальная высота пламени свечи (размер объекта).
• $h_{i}$ — высота изображения на стене.
• $d_{o}$ — расстояние от свечи до картона с отверстием.
• $d_{i}$ — расстояние от картона до стены.

Из подобия треугольников, образованных объектом, отверстием и изображением, следует соотношение для линейного увеличения $\Gamma$:

$\Gamma = \frac{h_{i}}{h_{o}} = \frac{d_{i}}{d_{o}}$

В условиях задачи, общее расстояние от свечи до стены постоянно: $d_{o} + d_{i} = 0.5$ м.

• Приближение картона к свече: расстояние $d_{o}$ уменьшается, а $d_{i}$ увеличивается (т.к. $d_{i} = 0.5 - d_{o}$). Коэффициент увеличения $\Gamma = \frac{d_{i}}{d_{o}}$ растет, и изображение становится больше. Однако оно становится тусклее, так как через отверстие проходит меньше световой энергии от свечи на единицу площади изображения.
• Приближение картона к стене: расстояние $d_{i}$ уменьшается, а $d_{o}$ увеличивается. Коэффициент увеличения $\Gamma$ уменьшается, и изображение становится меньше. При этом оно становится ярче, так как на меньшую площадь изображения попадает больше света.
• Картон посередине: если $d_{o} = d_{i} = 0.25$ м, то $\Gamma = 1$. В этом случае размер изображения в точности равен размеру пламени свечи.

Ответ: Размер изображения прямо пропорционален расстоянию от картона до стены и обратно пропорционален расстоянию от картона до свечи. При движении картона от свечи к стене изображение уменьшается в размерах, но его яркость увеличивается.

3. Влияние размера отверстия на чёткость изображения

Чёткость изображения напрямую зависит от размера отверстия. В задании указан диаметр около 2 мм, что является компромиссным значением.

• Если бы отверстие было меньше (например, игольный прокол), изображение стало бы более чётким, так как каждая точка объекта проецировалась бы на стену в виде пятна очень малого размера. Однако такое изображение было бы очень тусклым, так как общее количество света, проходящего через отверстие, было бы невелико.
• Если бы отверстие было больше, изображение стало бы значительно ярче, так как проходило бы больше света. Но оно стало бы очень размытым. Каждая точка объекта проецировалась бы в виде большого светового пятна, повторяющего форму отверстия. Изображение превратилось бы в наложение множества таких пятен, что привело бы к полной потере деталей.

Ответ: Чёткость изображения обратно пропорциональна размеру отверстия, а яркость — прямо пропорциональна его площади. Оптимальный размер отверстия обеспечивает достаточную яркость при приемлемой чёткости.