Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

14. Докажите с помощью графиков, что система уравнений $ \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 \end{cases} $ не имеет решений.

Решение.

x

y

Для того чтобы доказать, что система уравнений не имеет решений, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решениями системы являются точки пересечения этих графиков. Если графики не пересекаются, то система не имеет решений.

Построение графика функции $y = x^2 + 1$

Графиком данного уравнения является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке с координатами $(0, 1)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику. Заполним таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Построение графика уравнения $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$

Чтобы определить вид графика, необходимо преобразовать данное уравнение. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата для переменной $x$:

$(x^2 - 6x) + y^2 + 5 = 0$

Для выражения в скобках добавим и вычтем $3^2=9$, чтобы получить полный квадрат разности:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение — это каноническое уравнение окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. В нашем случае центр окружности находится в точке $(a, b) = (3, 0)$, а ее радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Построим эту окружность на той же координатной плоскости.

Анализ взаимного расположения графиков и вывод

Нанесем оба графика на одну координатную плоскость. Мы имеем параболу с вершиной в $(0, 1)$ и ветвями вверх, и окружность с центром в $(3, 0)$ и радиусом 2.

Проанализируем их взаимное расположение. Окружность занимает на оси абсцисс интервал от $x = 3 - 2 = 1$ до $x = 3 + 2 = 5$. Найдем значение функции параболы на границах этого интервала: при $x=1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит параболе. В то же время, самая высокая точка окружности имеет координаты $(3, 2)$. Это означает, что парабола "входит" в область над окружностью на той же высоте, что и самая высокая точка окружности, но при другом значении $x$. Поскольку при $x > 0$ парабола является возрастающей функцией, все ее точки для $x > 1$ будут находиться выше $y=2$. Таким образом, парабола и окружность не имеют общих точек.

Из графического представления видно, что парабола полностью расположена вне окружности и выше нее. Графики не пересекаются и не касаются друг друга.

Ответ: Поскольку графики уравнений системы, парабола $y = x^2 + 1$ и окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 4$, не имеют точек пересечения, данная система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.

15. Решите графически систему уравнений

$ \begin{cases} y + 4 = \frac{1}{2}x^2 \\ (x + 2)^2 + y - 2 = 0 \end{cases} $

....................

....................

....................

x

y

x

y

Ответ: ....................

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решением системы.

1. Построение графика уравнения $y + 4 = \frac{1}{2}x^2$

Преобразуем первое уравнение к виду функции $y(x)$:

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4$

Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе, и заполним таблицу.

2. Построение графика уравнения $(x + 2)^2 + y - 2 = 0$

Преобразуем второе уравнение к виду функции $y(x)$:

$y = -(x + 2)^2 + 2$

Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2; 2)$. Найдем координаты нескольких точек для построения графика и заполним вторую таблицу.

3. Нахождение решения системы

Построим обе параболы на координатной плоскости, используя вычисленные точки. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков.

При построении графиков видно, что параболы пересекаются в двух точках. Эти точки не имеют целочисленных координат, поэтому их можно определить лишь приблизительно, оценив положение на координатной сетке.

Первая точка пересечения имеет координаты примерно $(0.4; -3.9)$.

Вторая точка пересечения имеет координаты примерно $(-3.1; 0.8)$.

Ответ: Приблизительные решения системы: $(0.4; -3.9)$ и $(-3.1; 0.8)$.

15. При каких значениях k уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $3x^2 + 2kx + k + 6 = 0$;

...................

...................

...................

...................

...................

б) $x^2 + 6kx + 9 = 0?$;

...................

...................

...................

...................

...................

Ответ: a) ...................

б) ...................

a) $3x^2 + 2kx + k + 6 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 2k$, $c = k + 6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k + 6) = 4k^2 - 12(k + 6) = 4k^2 - 12k - 72$.

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$4k^2 - 12k - 72 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы упростить его:

$k^2 - 3k - 18 \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $k^2 - 3k - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения относительно $k$:

$D_k = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$k_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$k_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Графиком функции $y = k^2 - 3k - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $k^2 - 3k - 18$ принимает неотрицательные значения при $k \le -3$ и при $k \ge 6$.

Таким образом, решение неравенства: $k \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $k \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

б) $x^2 + 6kx + 9 = 0$

Это также квадратное уравнение. Условием наличия хотя бы одного действительного корня является неотрицательность дискриминанта: $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 6k$, $c = 9$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (6k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36k^2 - 36$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$36k^2 - 36 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 36:

$k^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(k - 1)(k + 1) \ge 0$

Корнями уравнения $(k - 1)(k + 1) = 0$ являются $k_1 = -1$ и $k_2 = 1$.

Графиком функции $y = k^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $k$ за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $k \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $k \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

16. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

a) $4x^2 - 2kx + k + 3 = 0$;

б) $x^2 - 2kx - k = 0?

Ответ: a) ... б) ...

а) $4x^2 - 2kx + k + 3 = 0$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант (D) меньше нуля. Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ такова: $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты равны:

• $a = 4$
• $b = -2k$
• $c = k + 3$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (k + 3) = 4k^2 - 16(k + 3) = 4k^2 - 16k - 48$.

Условие отсутствия корней: $D < 0$.

$4k^2 - 16k - 48 < 0$

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы упростить его:

$k^2 - 4k - 12 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $k^2 - 4k - 12 = 0$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

Дискриминант для $k$: $D_k = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

$k_1 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$k_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни $k = -2$ и $k = 6$ разбивают числовую ось на три интервала. Так как коэффициент при $k^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = k^2 - 4k - 12$ направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля находятся между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < k < 6$.

Ответ: $k \in (-2; 6)$.

б) $x^2 - 2kx - k = 0$

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

В данном уравнении коэффициенты:

• $a = 1$
• $b = -2k$
• $c = -k$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4k^2 + 4k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$4k^2 + 4k < 0$

Разделим обе части на 4:

$k^2 + k < 0$

Найдем корни уравнения $k^2 + k = 0$:

$k(k + 1) = 0$

Отсюда получаем корни: $k_1 = 0$ и $k_2 = -1$.

Ветви параболы $y = k^2 + k$ направлены вверх, поэтому неравенство $k^2 + k < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < k < 0$.

Ответ: $k \in (-1; 0)$.