Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

3. Для графического решения одной из указанных систем уравнений построены графики, изображённые на рисунке. Выберите эту систему.

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x - y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y - 2x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Для того чтобы выбрать систему уравнений, соответствующую графикам на рисунке, необходимо сначала определить уравнения этих графиков — окружности и прямой. Затем мы проверим, какой из предложенных вариантов соответствует найденным уравнениям.

Анализ графика окружности:

Уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R$ имеет общий вид $x^2 + y^2 = R^2$. Из графика видно, что окружность пересекает оси координат в точках $(4, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 4)$ и $(0, -4)$. Это означает, что радиус окружности $R = 4$. Подставляя это значение в общее уравнение, получаем: $x^2 + y^2 = 4^2$, что равносильно $x^2 + y^2 = 16$. Данное уравнение присутствует во всех трех предложенных системах.

Анализ графика прямой:

Чтобы определить уравнение прямой, найдем координаты двух точек, через которые она проходит. Из графика видно, что прямая пересекает ось Y в точке $(0, 2)$ и ось X в точке $(1, 0)$. Теперь поочередно проверим уравнения прямых из каждой системы.

а) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x - y = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $2x - y = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $2 \cdot 1 - 0 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Подставляем точку $(0, 2)$: $2 \cdot 0 - 2 = -2$. Равенство $-2 = 2$ неверное.

Поскольку прямая не проходит через точку $(0, 2)$, эта система не подходит.

Ответ: не подходит.

б) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y - 2x = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $y - 2x = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $0 - 2 \cdot 1 = -2$. Равенство $-2 = 2$ неверное.

Поскольку прямая не проходит через точку $(1, 0)$, эта система не подходит.

Ответ: не подходит.

в) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $2x + y = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $2 \cdot 1 + 0 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Подставляем точку $(0, 2)$: $2 \cdot 0 + 2 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Обе точки принадлежат данной прямой. Уравнение окружности также соответствует графику. Следовательно, эта система является правильной.

Ответ: подходит.

4. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} u^2 - v^2 + uv = 45, \\ u - 2v = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u^2 + v^2 - 3uv = -1, \\ 3v - u = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u^2 - v^2 + uv = 45 \\u - 2v = 0\end{cases}$$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим u через v:

$u - 2v = 0 \implies u = 2v$

Подставим это выражение для u в первое уравнение системы:

$(2v)^2 - v^2 + (2v)v = 45$

Упростим и решим полученное уравнение относительно v:

$4v^2 - v^2 + 2v^2 = 45$

$5v^2 = 45$

$v^2 = \frac{45}{5}$

$v^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для v:

$v_1 = 3$ и $v_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения u для каждого значения v, используя соотношение $u = 2v$.

1. Если $v_1 = 3$, то $u_1 = 2 \cdot 3 = 6$.

2. Если $v_2 = -3$, то $u_2 = 2 \cdot (-3) = -6$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(6; 3)$, $(-6; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u^2 + v^2 - 3uv = -1 \\3v - u = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим u через v:

$3v - u = 1 \implies u = 3v - 1$

Подставим это выражение для u в первое уравнение системы:

$(3v - 1)^2 + v^2 - 3(3v - 1)v = -1$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$(9v^2 - 6v + 1) + v^2 - (9v^2 - 3v) = -1$

$9v^2 - 6v + 1 + v^2 - 9v^2 + 3v = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$v^2 - 3v + 1 = -1$

$v^2 - 3v + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:

$v_1 = 1$ и $v_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения u для каждого значения v, используя соотношение $u = 3v - 1$.

1. Если $v_1 = 1$, то $u_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

2. Если $v_2 = 2$, то $u_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$, $(5; 2)$.

8. Решите неравенство:

a) $-1 < \frac{8-x}{16} < 3$;

б) $-2 \le \frac{4-x}{3} < \frac{1}{2}$.

Ответ: a) ..............................

б) ..............................

а)

Исходное двойное неравенство: $-1 < \frac{8-x}{16} < 3$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все три части неравенства на 16. Так как 16 - положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$-1 \cdot 16 < 8-x < 3 \cdot 16$

$-16 < 8-x < 48$

Теперь вычтем 8 из всех частей неравенства, чтобы выделить $-x$.

$-16 - 8 < -x < 48 - 8$

$-24 < -x < 40$

Наконец, умножим все части на -1. При умножении или делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$-24 \cdot (-1) > -x \cdot (-1) > 40 \cdot (-1)$

$24 > x > -40$

Запишем решение в привычном виде, от меньшего числа к большему.

$-40 < x < 24$

Это соответствует интервалу $(-40; 24)$.

Ответ: $(-40; 24)$.

б)

Исходное двойное неравенство: $-2 \le \frac{4-x}{3} < \frac{1}{2}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все три части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 - положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$-2 \cdot 6 \le \frac{4-x}{3} \cdot 6 < \frac{1}{2} \cdot 6$

$-12 \le 2(4-x) < 3$

Раскроем скобки в средней части.

$-12 \le 8 - 2x < 3$

Теперь вычтем 8 из всех частей неравенства.

$-12 - 8 \le -2x < 3 - 8$

$-20 \le -2x < -5$

Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{-20}{-2} \ge x > \frac{-5}{-2}$

$10 \ge x > 2.5$

Запишем решение в привычном виде, от меньшего числа к большему.

$2.5 < x \le 10$

Это соответствует полуинтервалу $(2.5; 10]$.

Ответ: $(2.5; 10]$.

9. Решите неравенство:

а) $x^2 - 10x + 9 > 0;$

б) $x^2 - 9 \le 0;$

в) $x^2 - 4x + 4 \le 0;$

г) $4x^2 + 17x - 15 < 0.$

Ответ:

а) ....................

б) ....................

в) ....................

г) ....................

а) Для решения неравенства $x^2 - 10x + 9 > 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Графиком функции $y = x^2 - 10x + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство выполняется, когда график функции находится выше оси абсцисс, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $x^2 - 9 \le 0$, разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(x-3)(x+3) \le 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ являются точки $x = -3$ и $x = 3$. График функции $y = x^2 - 9$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни, так как в этих точках парабола находится ниже или на оси абсцисс.
Ответ: $x \in [-3; 3]$.

в) Левая часть неравенства $x^2 - 4x + 4 \le 0$ является полным квадратом: $(x-2)^2$. Таким образом, неравенство можно записать в виде $(x-2)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, неравенство $(x-2)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x-2)^2 = 0$, что происходит при $x=2$.
Ответ: $x = 2$.

г) Для решения неравенства $4x^2 + 17x - 15 < 0$ найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 17x - 15 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.
Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm 23}{2 \cdot 4} = \frac{-17 \pm 23}{8}$.
$x_1 = \frac{-17 - 23}{8} = \frac{-40}{8} = -5$.
$x_2 = \frac{-17 + 23}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
График функции $y = 4x^2 + 17x - 15$ — это парабола с ветвями вверх ($a=4>0$). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-5; \frac{3}{4})$.