Страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Докажите, что графиком уравнения $x(x+4)+y(y-6)=23$ является окружность. Укажите длину её радиуса и координаты центра $C(a; b)$.

.........................

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, и найти её параметры, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности $C$, а $r$ — её радиус.

Исходное уравнение: $x(x + 4) + y(y - 6) = 23$

1. Преобразование уравнения

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $x^2 + 4x + y^2 - 6y = 23$

Затем сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$: $(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 23$

Теперь дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ и $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $2^2 = 4$. $(x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2$

Для выражения с $y$: $y^2 - 6y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $3^2 = 9$. $(y^2 - 6y + 9) = (y - 3)^2$

Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить те же числа ($4$ и $9$) в правую часть уравнения: $(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 23 + 4 + 9$

Теперь свернем полные квадраты в левой части и вычислим сумму в правой: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 36$

Полученное уравнение имеет канонический вид уравнения окружности. Это доказывает, что график исходного уравнения действительно является окружностью.

2. Определение радиуса и координат центра

Сравним полученное уравнение $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 36$ с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Чтобы найти $a$ и $b$, представим уравнение в виде: $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 6^2$

Отсюда следует, что:

• Координаты центра $a = -2$ и $b = 3$. Таким образом, центр окружности находится в точке $C(-2; 3)$.
• Квадрат радиуса $r^2 = 36$.
• Длина радиуса $r = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: Уравнение представляет собой окружность. Длина её радиуса равна 6, а координаты центра — $C(-2; 3)$.

12. Докажите, что графиком уравнения $y - 3x^2 = 8 - 12(x-1)$ является парабола. Укажите координаты её вершины.

Решение:

Ответ:

Докажите, что графиком уравнения $y - 3x^2 = 8 - 12(x-1)$ является парабола.
Для доказательства необходимо привести данное уравнение к каноническому виду параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.
Исходное уравнение: $y - 3x^2 = 8 - 12(x - 1)$.
Сначала выразим $y$, перенеся член $-3x^2$ в правую часть уравнения:
$y = 3x^2 + 8 - 12(x - 1)$
Теперь раскроем скобки в правой части:
$y = 3x^2 + 8 - 12x + 12$
Приведем подобные слагаемые:
$y = 3x^2 - 12x + 20$
Полученное уравнение вида $y = 3x^2 - 12x + 20$ является уравнением квадратичной функции. Графиком любой квадратичной функции, у которой коэффициент при $x^2$ не равен нулю (в нашем случае $a=3 \neq 0$), является парабола. Это и доказывает утверждение.
Ответ: Исходное уравнение преобразуется к виду $y = 3x^2 - 12x + 20$, что является уравнением параболы.

Укажите координаты её вершины.
Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам: абсцисса $x_в = -\frac{b}{2a}$ и ордината $y_в = y(x_в)$.
Для нашей параболы $y = 3x^2 - 12x + 20$ коэффициенты равны $a = 3$, $b = -12$, $c = 20$.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
Далее вычислим ординату вершины, подставив найденное значение $x_в = 2$ в уравнение параболы:
$y_в = 3(2)^2 - 12(2) + 20 = 3 \cdot 4 - 24 + 20 = 12 - 24 + 20 = 8$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(2; 8)$.
Ответ: $(2; 8)$.

13. Составьте уравнение окружности с центром в точке (6; 11), если известно, что она касается:

а) оси x;

б) оси y.

Ответ:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
По условию задачи, центр окружности находится в точке $(6; 11)$, следовательно, $h = 6$ и $k = 11$. Уравнение окружности принимает вид: $(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = r^2$.
Для составления уравнения необходимо найти радиус $r$ в каждом из случаев.

а) оси x
Если окружность касается оси x (оси абсцисс, уравнение которой $y=0$), то ее радиус равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(h; k)$ до оси x равно модулю ее ординаты, то есть $|k|$.
В нашем случае центр — точка $(6; 11)$, поэтому радиус окружности равен:
$r = |11| = 11$.
Подставим значение радиуса в уравнение окружности:
$(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 11^2$
$(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 121$.
Ответ: $(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 121$

б) оси y
Если окружность касается оси y (оси ординат, уравнение которой $x=0$), то ее радиус равен расстоянию от центра до этой оси. Расстояние от точки с координатами $(h; k)$ до оси y равно модулю ее абсциссы, то есть $|h|$.
В нашем случае центр — точка $(6; 11)$, поэтому радиус окружности равен:
$r = |6| = 6$.
Подставим значение радиуса в уравнение окружности:
$(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 6^2$
$(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 36$.
Ответ: $(x - 6)^2 + (y - 11)^2 = 36$

14. При каких значениях $m$ окружность $(x+2)^2+(y+m)^2=25$ проходит через точку:

а) $C(-7; 4)$; б) $A(-2; 6)$; в) $B(1; -1)$; г) $D(0; 0)$?

Ответ: а)

б) в) г)

а) Чтобы окружность проходила через заданную точку, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим координаты точки $C(-7; 4)$ в уравнение окружности $(x + 2)^2 + (y + m)^2 = 25$.
$(-7 + 2)^2 + (4 + m)^2 = 25$
$(-5)^2 + (4 + m)^2 = 25$
$25 + (4 + m)^2 = 25$
$(4 + m)^2 = 25 - 25$
$(4 + m)^2 = 0$
$4 + m = 0$
$m = -4$
Ответ: $m = -4$.

б) Подставим координаты точки $A(-2; 6)$ в уравнение окружности:
$(-2 + 2)^2 + (6 + m)^2 = 25$
$0^2 + (6 + m)^2 = 25$
$(6 + m)^2 = 25$
Из этого уравнения следует, что выражение $6 + m$ может быть равно $5$ или $-5$. Рассмотрим оба случая:
1) $6 + m = 5 \implies m = 5 - 6 \implies m = -1$
2) $6 + m = -5 \implies m = -5 - 6 \implies m = -11$
Ответ: $m = -1$ или $m = -11$.

в) Подставим координаты точки $B(1; -1)$ в уравнение окружности:
$(1 + 2)^2 + (-1 + m)^2 = 25$
$3^2 + (m - 1)^2 = 25$
$9 + (m - 1)^2 = 25$
$(m - 1)^2 = 25 - 9$
$(m - 1)^2 = 16$
Из этого уравнения следует, что выражение $m - 1$ может быть равно $4$ или $-4$. Рассмотрим оба случая:
1) $m - 1 = 4 \implies m = 4 + 1 \implies m = 5$
2) $m - 1 = -4 \implies m = -4 + 1 \implies m = -3$
Ответ: $m = 5$ или $m = -3$.

г) Подставим координаты точки $D(0; 0)$ в уравнение окружности:
$(0 + 2)^2 + (0 + m)^2 = 25$
$2^2 + m^2 = 25$
$4 + m^2 = 25$
$m^2 = 25 - 4$
$m^2 = 21$
$m = \pm\sqrt{21}$
Ответ: $m = \sqrt{21}$ или $m = -\sqrt{21}$.

41. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

$\begin{cases} y = kx + b \\ y = \frac{1}{3}x - 2 \end{cases}$

а) не имела решений

б) имела бесконечно много решений

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $y = -1$.

Ответ: а) .......... б) .......... в) ..........

Дана система двух линейных уравнений:

Решение системы — это точка (или множество точек) пересечения двух прямых, заданных этими уравнениями. Количество решений зависит от взаимного расположения этих прямых, которое определяется их угловыми коэффициентами и точками пересечения с осью ординат.

Для прямой вида $y=mx+c$, $m$ — угловой коэффициент, а $c$ — ордината точки пересечения с осью OY (свободный член).

В нашей системе для первой прямой угловой коэффициент равен $k$, свободный член — $b$. Для второй прямой угловой коэффициент равен $\frac{1}{3}$, свободный член — $-2$.

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны.

Условие равенства угловых коэффициентов:

$k = \frac{1}{3}$

Условие различия свободных членов:

$b \neq -2$

Следовательно, для отсутствия решений необходимо, чтобы $k$ был равен $\frac{1}{3}$, а $b$ — любому числу, кроме $-2$.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $b$ — любое число, не равное $-2$ (например, $b=5$).

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены у них равны.

Условие равенства угловых коэффициентов:

$k = \frac{1}{3}$

Условие равенства свободных членов:

$b = -2$

Эти значения $k$ и $b$ определены однозначно.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $b = -2$.

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны.

$k \neq \frac{1}{3}$

Известно, что ордината (координата $y$) точки пересечения равна $-1$. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) этой точки, подставим $y = -1$ во второе уравнение, так как оно не содержит неизвестных параметров:

$-1 = \frac{1}{3}x - 2$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2 - 1 = \frac{1}{3}x$

$1 = \frac{1}{3}x$

$x = 3$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3, -1)$. Эта точка должна также лежать на первой прямой, то есть её координаты должны удовлетворять уравнению $y = kx + b$. Подставим $x=3$ и $y=-1$ в это уравнение:

$-1 = k \cdot 3 + b$

$3k + b = -1$

Нам нужно подобрать любую пару чисел $(k, b)$, которая удовлетворяет этому равенству и условию $k \neq \frac{1}{3}$. Мы можем выразить $b$ через $k$: $b = -1 - 3k$.

Выберем произвольное значение $k$, не равное $\frac{1}{3}$. Например, пусть $k = 1$.

Тогда $b = -1 - 3 \cdot 1 = -4$.

Пара $k=1$ и $b=-4$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: любая пара чисел $(k,b)$, для которой $k \neq \frac{1}{3}$ и $b = -1 - 3k$ (например, $k=1$ и $b=-4$).

42. При каком значении p имеет решения система уравнений

$ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4, \\ 7x - 3y = p? \end{cases} $

Решение. Решим систему уравнений

$ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4. \end{cases} $

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

Найдём такое значение p, что найденное решение является решением третьего уравнения:

..............................

..............................

Ответ: p = .............................

Чтобы данная система из трех уравнений с двумя переменными имела решение, необходимо, чтобы пара чисел $(x, y)$, являющаяся решением первых двух уравнений, удовлетворяла и третьему уравнению.

Решим систему уравнений $ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4. \end{cases} $

Для решения используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 2x - 5$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x + 2(2x - 5) = 4$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$3x + 4x - 10 = 4$
$7x = 14$
$x = \frac{14}{7}$
$x = 2$.

Найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение $y = 2x - 5$:
$y = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Таким образом, решение системы из первых двух уравнений — это пара чисел $(2; -1)$.

Найдём такое значение p, что найденное решение является решением третьего уравнения:

Подставим найденные значения $x = 2$ и $y = -1$ в третье уравнение $7x - 3y = p$:
$7 \cdot (2) - 3 \cdot (-1) = p$
$14 - (-3) = p$
$14 + 3 = p$
$p = 17$.

При $p = 17$ решение первых двух уравнений является также решением третьего уравнения, а значит, вся система имеет решение.

Ответ: $p = 17$.