Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Составьте какое-нибудь уравнение четвёртой степени с двумя переменными, решением которого является пара чисел $(-1; 4)$.

Ответ:

Задача состоит в том, чтобы составить уравнение четвёртой степени с двумя переменными, например $x$ и $y$, для которого пара чисел $(-1; 4)$ является решением. Это означает, что при подстановке $x=-1$ и $y=4$ в уравнение должно получиться верное числовое равенство. Степень уравнения должна быть равна четырём, то есть максимальная сумма степеней переменных в одном из его членов равна 4.

Построение уравнения

Можно сконструировать такое уравнение в несколько шагов:

1. Составим левую часть уравнения. Она должна содержать хотя бы один член четвёртой степени. Возьмём для примера простое выражение $x^4 + y$. Оно содержит две переменные, а его степень равна 4 (определяется по старшему члену $x^4$).

2. Вычислим значение этого выражения при заданных $x = -1$ и $y = 4$. Для этого подставим эти числа в выражение:

$(-1)^4 + 4 = 1 + 4 = 5$

3. Чтобы пара $(-1; 4)$ была решением, левая часть уравнения при подстановке этих значений должна равняться правой. Мы получили, что значение левой части равно 5, следовательно, искомое уравнение:

$x^4 + y = 5$

Проверка

Убедимся, что полученное уравнение $x^4 + y = 5$ удовлетворяет всем условиям. Уравнение содержит две переменные. Его степень равна 4. При подстановке $x=-1$ и $y=4$ мы получаем верное равенство: $(-1)^4 + 4 = 5$, что преобразуется в $1 + 4 = 5$, или $5 = 5$. Все условия выполнены.

Ответ: $x^4 + y = 5$

5. Постройте график уравнения:

а) $x - y = 5$;

б) $|y| = 1$;

в) $(x + 2)(y - 3) = 0$;

г) $x^2 + y^2 = 9$.

а) $y$

1

0 1 $x$

б) $y$

1

0 1 $x$

в) $y$

1

0 1 $x$

г) $y$

1

0 1 $x$

Укажите координаты двух каких-либо точек, принадлежащих этому графику.

Ответ: а) .........................

б) .........................

в) .........................

г) .........................

Уравнение $x - y = 5$ является линейным, его график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек. Выразим $y$ через $x$: $y = x - 5$.При $x=5$ получаем $y = 5 - 5 = 0$, это точка $(5, 0)$.При $x=0$ получаем $y = 0 - 5 = -5$, это точка $(0, -5)$.Графиком является прямая, проходящая через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Ответ: $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Уравнение $|y| = 1$ по определению модуля равносильно совокупности двух уравнений: $y = 1$ и $y = -1$.Графиком уравнения $y=1$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1)$.Графиком уравнения $y=-1$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -1)$.Таким образом, график уравнения $|y|=1$ состоит из двух параллельных прямых.

Ответ: $(3, 1)$ и $(-5, -1)$.

Произведение $(x + 2)(y - 3)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что уравнение распадается на два:$x + 2 = 0$ или $y - 3 = 0$.Отсюда получаем $x = -2$ или $y = 3$.Графиком уравнения $x = -2$ является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$.Графиком уравнения $y = 3$ является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.Следовательно, график исходного уравнения — это пара пересекающихся прямых: $x=-2$ и $y=3$.

Ответ: $(-2, 1)$ и $(4, 3)$.

Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ является уравнением окружности. Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.Наше уравнение можно представить в виде $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.Это означает, что график — окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$.

Ответ: $(3, 0)$ и $(0, -3)$.

37. Арифметическая прогрессия состоит из восьми членов. Сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна 56, а сумма членов, стоящих на чётных местах, равна 68. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть в данной арифметической прогрессии ($a_n$) первый член равен $a_1$, разность равна $d$. Тогда на нечётных местах стоят члены ................ По условию задачи их сумма равна 56, поэтому ....................... (1)

На чётных местах стоят члены ...................., и по условию задачи их сумма равна 68, поэтому .......................... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

.......................

.......................

.......................

.......................

.......................

Следовательно, первый член $a_1 = ............$, разность $d = ............$

Ответ: ....................

Решение. Пусть в данной арифметической прогрессии $(a_n)$ первый член равен $a_1$, разность равна $d$. Тогда на нечётных местах стоят члены $a_1, a_3, a_5, a_7$. По условию задачи их сумма равна 56, поэтому:

$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 56$

$a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 56$

$4a_1 + 12d = 56$ (1)

На чётных местах стоят члены $a_2, a_4, a_6, a_8$, и по условию задачи их сумма равна 68, поэтому:

$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 68$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) = 68$

$4a_1 + 16d = 68$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} 4a_1 + 12d = 56 \\ 4a_1 + 16d = 68 \end{cases} $

Для удобства разделим оба уравнения на 4:

$ \begin{cases} a_1 + 3d = 14 \\ a_1 + 4d = 17 \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 4d) - (a_1 + 3d) = 17 - 14$

$d = 3$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 3 \cdot 3 = 14$

$a_1 + 9 = 14$

$a_1 = 14 - 9$

$a_1 = 5$

Следовательно, первый член $a_1 = 5$, разность $d = 3$.

Ответ: первый член равен 5, разность равна 3.

38. Три числа составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 21. Если первое число оставить без изменения, из второго числа вычесть 1, а к третьему прибавить 1, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Решение. Пусть $x, y, z$ — искомые числа. По условию их сумма равна 21, следовательно,

$x+y+z=21$ (1)

Так как эти числа составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, поэтому

$2y=x+z$ (2)

Если изменить числа, как сказано в условии задачи, то полученные числа $x$, $y-1$, $z+1$ будут составлять геометрическую прогрессию, т. е. второе из них будет равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, поэтому

$(y-1)^2 = x(z+1)$ (3)

Из уравнений (1), (2), (3) составим систему и решим её:

Ответ:

Решение. Пусть $x, y, z$ — искомые числа. По условию их сумма равна 21, следовательно,

$x + y + z = 21$ (1)

Так как эти числа составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, поэтому

$y = \frac{x+z}{2}$ (2)

Если изменить числа, как сказано в условии задачи, то полученные числа $x, y-1, z+1$ будут составлять геометрическую прогрессию, т. е. второе из них будет равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, поэтому

$(y-1)^2 = x(z+1)$ (3)

Из уравнений (1), (2), (3) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y + z = 21 \\ y = \frac{x+z}{2} \\ (y-1)^2 = x(z+1) \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x+z = 2y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x+z) + y = 21$

$2y + y = 21$

$3y = 21$

$y = 7$

Теперь подставим значение $y=7$ в первое и третье уравнения системы:

$ \begin{cases} x + 7 + z = 21 \\ (7-1)^2 = x(z+1) \end{cases} \implies \begin{cases} x + z = 14 \\ 36 = x(z+1) \end{cases} $

Из первого уравнения новой системы выразим $z$: $z = 14 - x$.

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение:

$36 = x((14-x)+1)$

$36 = x(15-x)$

$36 = 15x - x^2$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 15x + 36 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2} = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2} = \frac{15-9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $z$ для каждого $x$:

1. Если $x=12$, то $z = 14 - 12 = 2$. Искомые числа: 12, 7, 2.

2. Если $x=3$, то $z = 14 - 3 = 11$. Искомые числа: 3, 7, 11.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи. В первом случае арифметическая прогрессия убывающая (разность $d = -5$), во втором — возрастающая (разность $d = 4$).

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.