Страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

18. График уравнения $xy = k$ проходит через точку $(3; -2)$. Найдите число $k$ и постройте этот график.

Решение.

...

...

...

$y$

1

0

1

$x$

Ответ:

...

Найдите число k

По условию, график уравнения $xy = k$ проходит через точку с координатами $(3; -2)$. Чтобы найти значение коэффициента $k$, подставим значения $x = 3$ и $y = -2$ в уравнение:

$k = x \cdot y = 3 \cdot (-2) = -6$

Таким образом, уравнение графика имеет вид $xy = -6$.

Ответ: $k = -6$.

Постройте этот график

Графиком уравнения $xy = -6$ является гипербола. Для ее построения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{6}{x}$. Составим таблицу значений для нескольких точек, принадлежащих графику. Выберем значения $x$, которые являются делителями числа -6, чтобы получить целые значения $y$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями. Поскольку коэффициент $k = -6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График уравнения $xy = -6$ построен на рисунке выше.

19. Составьте уравнения окружностей, симметричных окружности $ (x+4)^2 + (y-2)^2 = 1 $:

а) относительно оси абсцисс

б) относительно оси ординат

в) относительно начала координат

Исходное уравнение окружности имеет вид $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$. Это каноническое уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Следовательно, центр данной окружности находится в точке $C(-4, 2)$, а её радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется, меняются только координаты центра.

а) относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) у точки меняется знак координаты $y$, а координата $x$ остается прежней. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_a(-4, -2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_a(-4, -2)$ и радиусом $R=1$: $(x - (-4))^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$
Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$

б) относительно оси ординат

При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) у точки меняется знак координаты $x$, а координата $y$ остается прежней. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_b(4, 2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_b(4, 2)$ и радиусом $R=1$: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$
Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$

в) относительно начала координат

При симметрии относительно начала координат (точки $O(0,0)$) у точки меняются знаки обеих координат. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_c(4, -2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_c(4, -2)$ и радиусом $R=1$: $(x - 4)^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$ $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$
Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$

4. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 6x - 3 > 2x - 15, \\ 2x + 1 > 3(x + 1); \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x + 4 > \frac{2x}{3} - 2x, \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} > x - 1. \end{cases} $

Ответ: a) ............................. б) .............................

a)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6x - 3 > 2x - 15 \\ 2x + 1 > 3(x + 1) \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$6x - 3 > 2x - 15$

Переносим члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 2x > -15 + 3$

$4x > -12$

Делим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):

$x > -3$

2. Решаем второе неравенство:

$2x + 1 > 3(x + 1)$

Раскрываем скобки в правой части:

$2x + 1 > 3x + 3$

Переносим члены с $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$1 - 3 > 3x - 2x$

$-2 > x$

Что эквивалентно $x < -2$.

3. Находим пересечение решений.

Решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно: $x > -3$ и $x < -2$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x < -2$.

Ответ: $(-3; -2)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x + 4 > \frac{2x}{3} - 2x \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} > x - 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$2x + 4 > \frac{2x}{3} - 2x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 3:

$3(2x + 4) > 3(\frac{2x}{3} - 2x)$

$6x + 12 > 2x - 6x$

$6x + 12 > -4x$

Переносим члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x + 4x > -12$

$10x > -12$

Делим обе части на 10:

$x > -\frac{12}{10}$

$x > -1,2$

2. Решаем второе неравенство:

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} > x - 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$6(\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) > 6(x - 1)$

$3x + 2x > 6x - 6$

$5x > 6x - 6$

Переносим постоянный член в левую часть, а члены с $x$ — в правую:

$6 > 6x - 5x$

$6 > x$

Что эквивалентно $x < 6$.

3. Находим пересечение решений.

Решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно: $x > -1,2$ и $x < 6$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1,2 < x < 6$.

Ответ: $(-1,2; 6)$.

5. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $ \begin{cases} 3x - 7 < 3 - 2x, \\ 6x + 2 > 3x - 10; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + \frac{x+1}{3} > 1 - x, \\ \frac{1}{3} + \frac{x}{3} < 2 - \frac{x}{2}. \end{cases} $

Ответ: a) .........................

б) .........................

a)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.
1. Решим первое неравенство:
$3x - 7 < 3 - 2x$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + 2x < 3 + 7$
$5x < 10$
Разделим обе части на 5:
$x < 2$
2. Решим второе неравенство:
$6x + 2 > 3x - 10$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 3x > -10 - 2$
$3x > -12$
Разделим обе части на 3:
$x > -4$
3. Найдем пересечение решений. Мы получили, что $x$ должен быть одновременно больше -4 и меньше 2.
$-4 < x < 2$
Целые решения, которые принадлежат этому интервалу: -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.

б)

Решим каждое неравенство системы.
1. Решим первое неравенство:
$x + \frac{x+1}{3} > 1 - x$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot x + 3 \cdot \frac{x+1}{3} > 3 \cdot (1 - x)$
$3x + x + 1 > 3 - 3x$
$4x + 1 > 3 - 3x$
$4x + 3x > 3 - 1$
$7x > 2$
$x > \frac{2}{7}$
2. Решим второе неравенство:
$\frac{1}{3} + \frac{x}{3} < 2 - \frac{x}{2}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{1+x}{3} < 2 - \frac{x}{2}$
Умножим обе части неравенства на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2):
$6 \cdot \frac{1+x}{3} < 6 \cdot 2 - 6 \cdot \frac{x}{2}$
$2(1+x) < 12 - 3x$
$2 + 2x < 12 - 3x$
$2x + 3x < 12 - 2$
$5x < 10$
$x < 2$
3. Найдем пересечение решений. Мы получили, что $x$ должен быть одновременно больше $\frac{2}{7}$ и меньше 2.
$\frac{2}{7} < x < 2$
Поскольку $\frac{2}{7} \approx 0.28$, единственное целое число в этом интервале — это 1.
Ответ: 1.