Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Прямая $y=kx+1$ имеет с окружностью $(x-4)^2+(y-6)=18$ общую точку $M(1; 3)$. Найдите координаты другой общей точки, если она существует.

Поскольку прямая $y=kx+1$ и окружность $(x-4)^2 + (y-6)^2 = 18$ имеют общую точку $M(1; 3)$, координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.

Сначала найдем значение углового коэффициента $k$ для прямой. Подставим координаты точки $M(1; 3)$ в уравнение прямой $y=kx+1$:

$3 = k \cdot 1 + 1$
$3 = k + 1$
$k = 2$

Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y = 2x + 1$.

Чтобы найти координаты всех общих точек, решим систему уравнений, состоящую из уравнений прямой и окружности:

$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ (x-4)^2 + (y-6)^2 = 18 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x-4)^2 + ((2x+1)-6)^2 = 18$
$(x-4)^2 + (2x-5)^2 = 18$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 - 8x + 16) + (4x^2 - 20x + 25) = 18$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$5x^2 - 28x + 41 = 18$
$5x^2 - 28x + 23 = 0$

Корнями этого уравнения являются абсциссы точек пересечения. Мы знаем, что одна из точек пересечения — это $M(1; 3)$, значит, один из корней этого уравнения равен $x_1 = 1$. Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно ей, для уравнения $ax^2+bx+c=0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$1 \cdot x_2 = \frac{23}{5}$
$x_2 = \frac{23}{5}$

Теперь найдем ординату второй общей точки, подставив найденное значение $x_2$ в уравнение прямой $y = 2x + 1$:

$y_2 = 2 \cdot \frac{23}{5} + 1 = \frac{46}{5} + \frac{5}{5} = \frac{51}{5}$

Следовательно, координаты другой общей точки — $(\frac{23}{5}; \frac{51}{5})$.

Ответ: $(\frac{23}{5}; \frac{51}{5})$.

13. Изобразите схематически графики уравнений и выясните, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то сколько:

a) $\begin{cases} y = x^2 - 5 \\ y = -x^2 + 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases}$

Ответ: а) ................. б) ................. в) ................. г) .................

а) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = x^2 - 5 \\ y = -x^2 + 1 \end{cases} $. Первое уравнение, $y = x^2 - 5$, задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -5)$. Второе уравнение, $y = -x^2 + 1$, задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Схематически, первая парабола — это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 5 единиц вниз. Вторая — это перевернутая парабола $y=-x^2$, смещенная на 1 единицу вверх. Поскольку вершина второй параболы $(0, 1)$ находится выше вершины первой $(0, -5)$, и их ветви направлены навстречу друг другу (одна вверх, другая вниз), графики обязательно пересекутся. Так как обе параболы симметричны относительно оси $y$, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси. Чтобы убедиться в этом, приравняем правые части уравнений: $x^2 - 5 = -x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} xy = -3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $xy = -3$ или $y = -3/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Определим, пересекаются ли эти графики. Найдем минимальное расстояние от начала координат до любой точки на гиперболе. Квадрат расстояния от точки $(x, y)$ на гиперболе до начала координат равен $d^2 = x^2 + y^2$. Подставив $y = -3/x$, получим $d^2 = x^2 + (-3/x)^2 = x^2 + 9/x^2$. Минимальное значение этой функции достигается при $x^2=3$ и равно $3+9/3 = 6$. Следовательно, минимальное расстояние от начала координат до гиперболы равно $d_{min} = \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, а радиус окружности $R = 2$, минимальное расстояние до гиперболы больше радиуса окружности ($d_{min} > R$). Это означает, что гипербола полностью находится за пределами окружности, и графики не пересекаются.
Ответ: нет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение, $y = -x^2 + 4$, — это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз. Вершина параболы $(0, 4)$ находится вне окружности, так как ее самая высокая точка — $(0, 3)$. Парабола открывается вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью $x$: $0 = -x^2 + 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки $(\pm 2, 0)$ лежат внутри окружности, так как расстояние от них до центра равно 2, что меньше радиуса 3. Поскольку парабола "начинается" над окружностью (в своей вершине), а затем проходит через точки внутри окружности, она должна пересечь окружность. Так как обе фигуры симметричны относительно оси $y$, парабола пересечет окружность в двух точках с $y>0$ и в двух точках с $y<0$. Алгебраическое решение подтверждает это: подставим $x^2 = 4 - y$ из второго уравнения в первое: $(4 - y) + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 - y - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 21 > 0$, значит, есть два различных значения $y$, при которых происходит пересечение. Для каждого из этих значений $y$ мы получаем $x^2 = 4-y$, что дает два различных значения $x$ (кроме случая $x=0$). Это приводит к четырем точкам пересечения.
Ответ: 4 решения.

г) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases} $. Перепишем систему в стандартном виде: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в точке $C_1(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{16} = 4$. Второе уравнение, $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, задает окружность с центром в точке $C_2(0, 2)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{4} = 2$. Для определения взаимного расположения окружностей найдем расстояние между их центрами: $d = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = 2$. Сравним это расстояние с суммой и разностью радиусов: $R_1 + R_2 = 4 + 2 = 6$; $|R_1 - R_2| = |4 - 2| = 2$. Поскольку расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_1 - R_2|$), окружности касаются внутренним образом. Это означает, что у них есть только одна общая точка. Схематически, меньшая окружность находится внутри большей и касается ее в одной точке. Эта точка — $(0, 4)$, что можно проверить, подставив координаты в оба уравнения.
Ответ: 1 решение.

14. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{10x - 4}; $

б) $ \sqrt{8 - 0,2x}; $

в) $ \sqrt{2x - x^2}; $

г) $ \sqrt{-2 + x + x^2}; $

д) $ \sqrt{15 - 6x} + \sqrt{4x - 1}; $

е) $ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{7x - 12}. $

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

г) ......................... д) ......................... е) .........................

а) Выражение $\sqrt{10x - 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $10x - 4 \ge 0$.

Решим это линейное неравенство:

$10x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{10}$

$x \ge 0.4$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $[0.4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [0.4; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{8 - 0.2x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $8 - 0.2x \ge 0$.

Решим неравенство:

$-0.2x \ge -8$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-0.2$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-8}{-0.2}$

$x \le 40$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-\infty; 40]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

в) Для того чтобы выражение $\sqrt{2x - x^2}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2x - x^2 \ge 0$.

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x - x^2 = 0$.

$x(2 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [0; 2]$.

г) Выражение $\sqrt{-2 + x + x^2}$ имеет смысл, если подкоренное выражение $x^2 + x - 2$ неотрицательно, то есть $x^2 + x - 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Значит, функция принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -2$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

д) Данное выражение является суммой двух квадратных корней. Оно имеет смысл тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 15 - 6x \ge 0 \\ 4x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $15 - 6x \ge 0 \implies 15 \ge 6x \implies x \le \frac{15}{6} \implies x \le 2.5$.

Второе неравенство: $4x - 1 \ge 0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4} \implies x \ge 0.25$.

Найдем пересечение решений: $x$ должен одновременно удовлетворять условиям $x \le 2.5$ и $x \ge 0.25$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0.25 \le x \le 2.5$.

Ответ: $x \in [0.25; 2.5]$.

е) Выражение $\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{7x - 12}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 1 \ge 0 \\ 7x - 12 \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 + 1 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $7x - 12 \ge 0$.

$7x \ge 12$

$x \ge \frac{12}{7}$

Областью допустимых значений является пересечение решений обоих неравенств. Так как первое неравенство верно для всех $x$, то решение системы совпадает с решением второго неравенства: $x \ge \frac{12}{7}$.

Ответ: $x \in [\frac{12}{7}; +\infty)$.