Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} x^2 - 2xy = 7, \\ 5x + 3y = 4 \end{cases}$ пара чисел: а) (1; -3); б) (2; 3)?

Ответ: а)

б)

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы уравнений, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из этой пары в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные числовые равенства для всех уравнений, то пара является решением.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 2xy = 7 \\ 5x + 3y = 4 \end{cases} $$

а) Проверим пару чисел $(1; -3)$, то есть $x=1$ и $y=-3$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 - (-6) = 1 + 6 = 7$.

Получили $7 = 7$. Это верное равенство.

Теперь подставим эти же значения во второе уравнение:

$5 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = 5 - 9 = -4$.

Получили $-4 = 4$. Это неверное равенство.

Так как пара чисел $(1; -3)$ не удовлетворяет второму уравнению системы, она не является ее решением.

Ответ: не является.

б) Проверим пару чисел $(2; 3)$, то есть $x=2$ и $y=3$.

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Получили $-8 = 7$. Это неверное равенство.

Поскольку пара чисел $(2; 3)$ не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы. Проверять второе уравнение нет необходимости.

Ответ: не является.

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

а) $\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - x = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x - 2, \\ (x - 3)^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = -5, \\ xy - y^2 = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - x = 4 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим переменную $x$: $$ x = y + 2 $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$ y^2 - (y + 2) = 4 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 - y - 2 = 4 $$ $$ y^2 - y - 6 = 0 $$ Решим это уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$ Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 2$: Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 2 = 5$. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 3)$, $(0; -2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x - 2, \\ (x - 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$ В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (x - 3)^2 + (x - 2)^2 = 5 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 5 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x^2 - 10x + 13 = 5 $$ Перенесем 5 в левую часть: $$ 2x^2 - 10x + 8 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x - 2$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 - 2 = 2$. Система имеет два решения.

Ответ: $(1; -1)$, $(4; 2)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy - y^2 = 2 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим переменную $x$: $$ x = -5 - y $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (-5 - y)y - y^2 = 2 $$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$ -5y - y^2 - y^2 = 2 $$ $$ -2y^2 - 5y - 2 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным: $$ 2y^2 + 5y + 2 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ Найдем корни: $$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = -5 - y$: Если $y_1 = -0.5$, то $x_1 = -5 - (-0.5) = -5 + 0.5 = -4.5$. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3$. Система имеет два решения.

Ответ: $(-4.5; -0.5)$, $(-3; -2)$.

6. Решите двойное неравенство:

a) $3 < 2x - 1 < 7;$

б) $7 \le 3x + 1 \le 10;$

в) $-1 \le 2x + 3 < 5;$

г) $-7 \le 5 - 3x \le 17.$

Ответ: a) б) в) г)

а) Чтобы решить двойное неравенство $3 < 2x - 1 < 7$, нужно выполнить такие действия, чтобы в центральной части остался только $x$. Сначала прибавим 1 ко всем трём частям неравенства, чтобы избавиться от $-1$ в центре:
$3 + 1 < 2x - 1 + 1 < 7 + 1$
$4 < 2x < 8$
Теперь разделим все три части на 2, чтобы получить $x$:
$\frac{4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{8}{2}$
$2 < x < 4$
Решением является интервал от 2 до 4, не включая концы.
Ответ: $x \in (2; 4)$

б) Решаем двойное неравенство $7 \le 3x + 1 \le 10$. Сначала вычтем 1 из всех трёх частей, чтобы изолировать член с $x$:
$7 - 1 \le 3x + 1 - 1 \le 10 - 1$
$6 \le 3x \le 9$
Теперь разделим все три части на 3:
$\frac{6}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{9}{3}$
$2 \le x \le 3$
Решением является числовой отрезок от 2 до 3, включая концы.
Ответ: $x \in [2; 3]$

в) Решаем двойное неравенство $-1 \le 2x + 3 < 5$. Вычтем 3 из всех трёх частей:
$-1 - 3 \le 2x + 3 - 3 < 5 - 3$
$-4 \le 2x < 2$
Разделим все три части на 2:
$\frac{-4}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{2}{2}$
$-2 \le x < 1$
Решением является полуинтервал от -2 до 1, включая -2, но не включая 1.
Ответ: $x \in [-2; 1)$

г) Решаем двойное неравенство $-7 \le 5 - 3x \le 17$. Сначала вычтем 5 из всех трёх частей:
$-7 - 5 \le 5 - 3x - 5 \le 17 - 5$
$-12 \le -3x \le 12$
Теперь разделим все три части на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-12}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{12}{-3}$
$4 \ge x \ge -4$
Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$-4 \le x \le 4$
Решением является числовой отрезок от -4 до 4, включая концы.
Ответ: $x \in [-4; 4]$

7. При каких значениях переменной $x$ значения выражения $\frac{2x - 1}{3}$ принадлежат промежутку $[1; 3]$?

Решение.

Ответ:

Решение.

Согласно условию задачи, значение выражения $\frac{2x - 1}{3}$ должно принадлежать промежутку $[1; 3]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$1 \le \frac{2x - 1}{3} \le 3$

Чтобы найти искомые значения $x$, решим это неравенство.

Сначала умножим все части неравенства на 3. Это позволит избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$1 \cdot 3 \le 2x - 1 \le 3 \cdot 3$

$3 \le 2x - 1 \le 9$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы в средней части осталось только выражение, содержащее $x$:

$3 + 1 \le 2x \le 9 + 1$

$4 \le 2x \le 10$

Наконец, разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства вновь сохраняются:

$\frac{4}{2} \le x \le \frac{10}{2}$

$2 \le x \le 5$

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка $[2; 5]$.

Ответ: $x \in [2; 5]$.