Страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

15. Постройте график уравнения:

а) $y + 6x = x^2 + 9;$

б) $2xy - 5y + x - 2.5 = 0;$

в) $x^2 + 4y - 10x + y^2 + 13 = 0.$

a)

б)

в)

а) Преобразуем исходное уравнение $y + 6x = x^2 + 9$, выразив $y$ через $x$:
$y = x^2 - 6x + 9$
Замечаем, что правая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид: $y = (x - 3)^2$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. График этой функции можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке с координатами $(3; 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = (x - 3)^2$ с вершиной в точке $(3; 0)$ и ветвями, направленными вверх.

б) Рассмотрим уравнение $2xy - 5y + x - 2,5 = 0$. Для удобства преобразуем его методом группировки. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$4xy - 10y + 2x - 5 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(4xy - 10y) + (2x - 5) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$2y(2x - 5) + 1(2x - 5) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(2x - 5)$:
$(2y + 1)(2x - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2y + 1 = 0 \implies 2y = -1 \implies y = -0,5$
2) $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$
Графиком является объединение двух прямых: горизонтальной прямой $y = -0,5$ и вертикальной прямой $x = 2,5$.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y = -0,5$ и $x = 2,5$.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + 4y - 10x + y^2 + 13 = 0$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 10x) + (y^2 + 4y) + 13 = 0$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения с $x$ добавим и вычтем $(\frac{10}{2})^2 = 25$. Для выражения с $y$ добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 4$.
$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$
Свернем полные квадраты и приведем подобные слагаемые:
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 - 25 - 4 + 13 = 0$
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 - 16 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 16$
Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(5; -2)$, а квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(5; -2)$ и радиусом $4$.

1. Пользуясь тем, что $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, оцените значение выражения:

a) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

в) $\sqrt{6}$

а) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Чтобы оценить значение суммы $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, воспользуемся заданными неравенствами:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Согласно свойству числовых неравенств, мы можем их сложить почленно. Складываем левые части с левыми, центральные с центральными и правые с правыми:
$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$
Выполнив сложение, получаем:
$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

Для оценки разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ нам понадобятся те же исходные неравенства:
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
Чтобы найти границы для разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, нужно из границ для $\sqrt{3}$ вычесть границы для $\sqrt{2}$. Для этого можно умножить неравенство для $\sqrt{2}$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$
Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$:
$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$
$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$
Вычисляем разности:
$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

в) $\sqrt{6}$

Значение $\sqrt{6}$ можно представить как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Поскольку все части данных неравенств являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно.
Исходные неравенства:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Перемножаем соответствующие части неравенств:
$1,4 \cdot 1,7 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 1,5 \cdot 1,8$
Выполняем умножение:
$2,38 < \sqrt{6} < 2,7$

Ответ: $2,38 < \sqrt{6} < 2,7$

2. Решите неравенство:

а) $3x - 7 \le 1 - x$;

.....................

б) $\frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} < 2$;

.....................

в) $4 + (2x + 3)(2x - 1) > (2x + 7)^2$;

.....................

г) $\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3(x-3).$

.....................

Ответ: а) .......................... б) ..........................

в) .......................... г) ..........................

Решим линейное неравенство $3x-7 \le 1-x$.

Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + x \le 1 + 7$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$4x \le 8$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменяется.

$x \le \frac{8}{4}$

$x \le 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

Решим неравенство с дробями $\frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} < 2$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьший общий знаменатель. Для чисел 2, 6 и 3 наименьший общий знаменатель равен 6. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$6 \cdot \left( \frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} \right) < 6 \cdot 2$

$3(x+1) - x - 2(x+2) < 12$

Раскроем скобки в левой части:

$3x + 3 - x - 2x - 4 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - x - 2x) + (3 - 4) < 12$

$0 \cdot x - 1 < 12$

$-1 < 12$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Решим неравенство $4 + (2x+3)(2x-1) > (2x+7)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим многочлены, в правой — применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$4 + (2x \cdot 2x - 2x \cdot 1 + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 1) > (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2$

$4 + (4x^2 + 4x - 3) > 4x^2 + 28x + 49$

Упростим левую часть:

$4x^2 + 4x + 1 > 4x^2 + 28x + 49$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:

$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 28x - 49 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (4x - 28x) + (1 - 49) > 0$

$-24x - 48 > 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-24x > 48$

Разделим обе части на -24. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < \frac{48}{-24}$

$x < -2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

Решим неравенство $\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3(x-3)$.

Сначала раскроем скобки в правой части:

$\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3x - 9$

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части неравенства на наименьший общий знаменатель чисел 5 и 2, который равен 10. Знак неравенства не изменится.

$10 \cdot \frac{4x+11}{5} + 10 \cdot \frac{10-x}{2} \le 10 \cdot (3x-9)$

$2(4x+11) + 5(10-x) \le 30x - 90$

Раскроем скобки в левой части:

$8x + 22 + 50 - 5x \le 30x - 90$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x + 72 \le 30x - 90$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а свободные члены — в левой:

$72 + 90 \le 30x - 3x$

$162 \le 27x$

Разделим обе части на 27:

$\frac{162}{27} \le x$

$6 \le x$

Запишем решение в стандартном виде. Решением является числовой промежуток $[6; +\infty)$.

Ответ: $x \in [6; +\infty)$