Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:

а) $x + 5y = 6$;

б) $2x^2 - xy = 5$;

в) $x^3 - 2y = 0$;

г) $x^2 + y^2 = 49$.

...

...

7. В каких точках график уравнения $(7x-4)(y+5)=0$ пересекает ось координат?

...

Решение. График пересекает ось x в точках

...

Ответ: а) ... б) ... в) ... г) ...

а) $x + 5y = 6$

Решением уравнения является любая пара чисел $(x, y)$, которая обращает это уравнение в верное равенство. Для нахождения решений можно выбрать произвольное значение для одной переменной и вычислить соответствующее значение другой.

1. Пусть $y = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$x + 5 \cdot 1 = 6$
$x + 5 = 6$
$x = 6 - 5$
$x = 1$
Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(1, 1)$.

2. Пусть $x = 6$. Подставим это значение в уравнение:
$6 + 5y = 6$
$5y = 6 - 6$
$5y = 0$
$y = 0$
Вторая пара чисел — $(6, 0)$.

Ответ: $(1, 1)$ и $(6, 0)$.

б) $2x^2 - xy = 5$

Подберем значения $x$ и найдем соответствующие значения $y$.

1. Пусть $x = 1$. Подставим в уравнение:
$2(1)^2 - 1 \cdot y = 5$
$2 - y = 5$
$-y = 5 - 2$
$-y = 3$
$y = -3$
Первое решение — $(1, -3)$.

2. Пусть $x = -1$. Подставим в уравнение:
$2(-1)^2 - (-1) \cdot y = 5$
$2(1) + y = 5$
$2 + y = 5$
$y = 5 - 2$
$y = 3$
Второе решение — $(-1, 3)$.

Ответ: $(1, -3)$ и $(-1, 3)$.

в) $x^3 - 2y = 0$

Выразим $y$ через $x$: $2y = x^3$, откуда $y = \frac{x^3}{2}$. Теперь подберем значения $x$.

1. Пусть $x = 0$.
$y = \frac{0^3}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Первое решение — $(0, 0)$.

2. Чтобы получить целое значение $y$, выберем $x$ так, чтобы $x^3$ было четным. Например, пусть $x=2$.
$y = \frac{2^3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Второе решение — $(2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

г) $x^2 + y^2 = 49$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{49} = 7$. Любая точка на этой окружности является решением. Проще всего найти точки пересечения с осями координат.

1. Пусть $x = 0$.
$0^2 + y^2 = 49$
$y^2 = 49$
$y = \pm 7$
Возьмем $y = 7$. Первое решение — $(0, 7)$.

2. Пусть $y = 0$.
$x^2 + 0^2 = 49$
$x^2 = 49$
$x = \pm 7$
Возьмем $x = 7$. Второе решение — $(7, 0)$.

Ответ: $(0, 7)$ и $(7, 0)$.

2. Является ли пара чисел (2; -5) решением уравнения:

а) $x^4 + xy - 6 = 0$;

б) $x^2 - 2y^2 - 16 = 0$;

в) $x^3 + 2xy = 12$;

г) $y^2 - 3x^3 = 1$?

Ответ: а) ................. б) ................. в) ................. г) .................

Чтобы определить, является ли пара чисел $(2; -5)$ решением уравнения, нужно подставить значения $x=2$ и $y=-5$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) $x^4 + xy - 6 = 0$

Подставляем $x=2$ и $y=-5$:

$2^4 + (2) \cdot (-5) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, пара чисел является решением уравнения.

Ответ: да.

б) $x^2 - 2y^2 - 16 = 0$

Подставляем $x=2$ и $y=-5$:

$2^2 - 2 \cdot (-5)^2 - 16 = 4 - 2 \cdot 25 - 16 = 4 - 50 - 16 = -62$

$-62 \neq 0$

Равенство неверное, значит, пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: нет.

в) $x^3 + 2xy = 12$

Подставляем $x=2$ и $y=-5$:

$2^3 + 2 \cdot (2) \cdot (-5) = 8 + 4 \cdot (-5) = 8 - 20 = -12$

$-12 \neq 12$

Равенство неверное, значит, пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: нет.

г) $y^2 - 3x^3 = 1$

Подставляем $x=2$ и $y=-5$:

$(-5)^2 - 3 \cdot 2^3 = 25 - 3 \cdot 8 = 25 - 24 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, пара чисел является решением уравнения.

Ответ: да.

3. Какова степень уравнения:

a) $5x^4 - 2y^3 = 3x^2 (y^3 + 7) - y^5;$

б) $(x + 3y)^2 - x^2 - 8x^3y + 4x^2 (2xy - 1) = 0?$

Ответ: a) ................... б) ...................

а) Чтобы найти степень уравнения $5x^4 - 2y^3 = 3x^2(y^3 + 7) - y^5$, необходимо привести его к стандартному виду многочлена, равного нулю, и найти наибольшую степень его членов.

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$5x^4 - 2y^3 = 3x^2 \cdot y^3 + 3x^2 \cdot 7 - y^5$
$5x^4 - 2y^3 = 3x^2y^3 + 21x^2 - y^5$

2. Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$5x^4 - 2y^3 - 3x^2y^3 - 21x^2 + y^5 = 0$

3. Определим степень каждого члена (одночлена) уравнения. Степень члена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.
Степень члена $5x^4$ равна 4.
Степень члена $-2y^3$ равна 3.
Степень члена $-3x^2y^3$ равна $2 + 3 = 5$.
Степень члена $-21x^2$ равна 2.
Степень члена $y^5$ равна 5.

4. Степенью уравнения является наибольшая из степеней его членов.
Сравнивая степени {4, 3, 5, 2, 5}, видим, что наибольшая степень равна 5.

Ответ: 5

б) Чтобы найти степень уравнения $(x + 3y)^2 - x^2 - 8x^3y + 4x^2(2xy - 1) = 0$, необходимо также упростить его, раскрыв скобки и приведя подобные члены.

1. Раскроем скобки в уравнении:
Квадрат суммы: $(x + 3y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$.
Произведение: $4x^2(2xy - 1) = 4x^2 \cdot 2xy - 4x^2 \cdot 1 = 8x^3y - 4x^2$.
Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:
$(x^2 + 6xy + 9y^2) - x^2 - 8x^3y + (8x^3y - 4x^2) = 0$

2. Снимем скобки и приведем подобные члены:
$x^2 + 6xy + 9y^2 - x^2 - 8x^3y + 8x^3y - 4x^2 = 0$
Сгруппируем подобные члены: $(x^2 - x^2 - 4x^2) + 6xy + 9y^2 + (-8x^3y + 8x^3y) = 0$
$-4x^2 + 6xy + 9y^2 + 0 = 0$
$-4x^2 + 6xy + 9y^2 = 0$

3. Определим степень каждого члена полученного уравнения:
Степень члена $-4x^2$ равна 2.
Степень члена $6xy$ (то есть $6x^1y^1$) равна $1 + 1 = 2$.
Степень члена $9y^2$ равна 2.

4. Все члены упрощенного уравнения имеют степень 2. Следовательно, наибольшая степень и есть степень уравнения. Она равна 2.

Ответ: 2