Номер 12, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Решите неравенство $\frac{x^3 + 5x^2 - 5 - x}{x^3 - 4x^2 - 4 + x} > 0$.

Для решения неравенства $\frac{x^3 + 5x^2 - 5 - x}{x^3 - 4x^2 - 4 + x} > 0$ воспользуемся методом интервалов. Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим на множители числитель $x^3 + 5x^2 - x - 5$. Сгруппируем слагаемые:

$x^3 + 5x^2 - x - 5 = (x^3 + 5x^2) - (x + 5) = x^2(x + 5) - 1(x + 5) = (x^2 - 1)(x + 5)$.

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получим:

$(x^2 - 1)(x + 5) = (x - 1)(x + 1)(x + 5)$.

Нули числителя: $x = 1$, $x = -1$, $x = -5$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^3 - 4x^2 + x - 4$. Также сгруппируем слагаемые:

$x^3 - 4x^2 + x - 4 = (x^3 - 4x^2) + (x - 4) = x^2(x - 4) + 1(x - 4) = (x^2 + 1)(x - 4)$.

Знаменатель обращается в ноль при $x = 4$. Множитель $(x^2 + 1)$ всегда строго положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+1 \ge 1$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 5)}{(x^2 + 1)(x - 4)} > 0 $$

Поскольку $x^2 + 1 > 0$ для всех $x$, мы можем умножить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства. Получаем равносильное неравенство:

$$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 5)}{x - 4} > 0 $$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x = -5$, $x = -1$, $x = 1$ и $x = 4$. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

- Интервал $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$. $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак `+`.
- Интервал $(1; 4)$: возьмем $x=2$. $\frac{(+)(+)(+)}{(-)} < 0$. Знак `-`.
- Интервал $(-1; 1)$: возьмем $x=0$. $\frac{(-)(+)(+)}{(-)} > 0$. Знак `+`.
- Интервал $(-5; -1)$: возьмем $x=-2$. $\frac{(-)(-)(+)}{(-)} < 0$. Знак `-`.
- Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$. $\frac{(-)(-)(-)}{(-)} > 0$. Знак `+`.

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля. Следовательно, нас интересуют интервалы, где стоит знак `+`.

Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -5)$, $(-1; 1)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 1) \cup (4; +\infty)$.