Номер 8, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Решая неравенство $ \frac{3x - 1}{4x + 2} \ge 0 $, ученик заменил его неравенством $ (3x - 1)(4x + 2) \ge 0 $, ссылаясь на то, что эти неравенства равносильны. Прав ли он? Ответ обоснуйте.

Прав ли он?

Нет, ученик не прав.

Ответ обоснуйте.

Утверждение ученика о том, что неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$ и $(3x-1)(4x+2) \geq 0$ равносильны, является ошибочным. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. В данном случае это условие не выполняется, что мы и докажем, решив оба неравенства.

Решение неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$
Это дробно-рациональное неравенство. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $4x + 2 \neq 0$, что означает $x \neq -0.5$.
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя: $4x + 2 = 0 \implies x = -0.5$. Эта точка не является решением, так как не входит в ОДЗ.
Нанесем точки на числовую ось, учитывая, что $x = \frac{1}{3}$ — закрашенная, а $x = -0.5$ — выколотая. Определяем знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -0.5): +$; $(-0.5; \frac{1}{3}): -$; $(\frac{1}{3}; +\infty): +$.
Выбирая промежутки, где выражение неотрицательно, получаем решение: $x \in (-\infty; -0.5) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Решение неравенства $(3x-1)(4x+2) \geq 0$
Это неравенство определено для всех действительных чисел $x$. Нули выражения те же: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -0.5$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), обе точки являются решениями.
Знаки на интервалах распределяются так же, как и в первом случае.
Выбирая промежутки, где выражение неотрицательно, получаем решение: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Сравнение и вывод
Множество решений первого неравенства: $S_1 = (-\infty; -0.5) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства: $S_2 = (-\infty; -0.5] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.
Множества решений $S_1$ и $S_2$ не совпадают. Разница заключается в точке $x = -0.5$. Это значение является решением второго неравенства (так как $(3(-0.5)-1)(4(-0.5)+2) = (-2.5)(0) = 0$, что удовлетворяет условию $\geq 0$), но не входит в область определения первого неравенства.
Следовательно, замена была некорректной. Равносильным для неравенства $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ является система $\begin{cases} f(x) \cdot g(x) \geq 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$. Ученик упустил второе условие системы.

Ответ: Ученик не прав. Неравенства не являются равносильными, потому что их множества решений не совпадают. В частности, $x = -0.5$ является решением неравенства $(3x-1)(4x+2) \geq 0$, но не является решением неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$ из-за того, что в этой точке знаменатель обращается в ноль.