Номер 9, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Верно ли, что:

a) неравенство $(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4) > 0$ равносильно неравенству $(x - 3)(x + 4) > 0;$

б) неравенство $(x - 6)^2(2x - 3)(x + 8) > 0$ равносильно неравенству $(2x - 3)(x + 8) > 0?

Запишите ответ и обоснуйте его.

а)

Два неравенства называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Рассмотрим первое неравенство $(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4) > 0$. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$. Следовательно, множитель $(x^2 + 13)$ всегда положителен, так как $x^2 + 13 \ge 13 > 0$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку множитель $(x^2 + 13)$ строго больше нуля при любом $x$, мы можем разделить обе части исходного неравенства на это выражение. Знак неравенства при этом не изменится, и такое преобразование является равносильным.

$\frac{(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4)}{x^2 + 13} > \frac{0}{x^2 + 13}$

В результате получаем неравенство $(x - 3)(x + 4) > 0$.

Так как второе неравенство может быть получено из первого с помощью равносильного преобразования, множества их решений совпадают. Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим два неравенства: $(x - 6)^2(2x - 3)(x + 8) > 0$ и $(2x - 3)(x + 8) > 0$. Чтобы они были равносильны, их множества решений должны полностью совпадать.

Проанализируем множитель $(x - 6)^2$ в первом неравенстве. Так как это квадрат выражения, он всегда неотрицателен: $(x - 6)^2 \ge 0$. Этот множитель равен нулю при $x = 6$ и строго положителен при всех $x \ne 6$.

Первое неравенство является строгим ($> 0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x=6$ не является решением первого неравенства, так как при $x=6$ левая часть обращается в ноль, и мы получаем $0 > 0$, что неверно. При любом $x \ne 6$ множитель $(x - 6)^2$ строго положителен, и мы можем разделить первое неравенство на него. В результате получим неравенство $(2x - 3)(x + 8) > 0$, которое должно выполняться при условии $x \ne 6$.

Таким образом, множество решений первого неравенства — это множество решений неравенства $(2x - 3)(x + 8) > 0$, из которого исключена точка $x=6$.

Теперь проверим, является ли $x=6$ решением второго неравенства $(2x - 3)(x + 8) > 0$. Подставим $x=6$: $(2 \cdot 6 - 3)(6 + 8) = (12 - 3)(14) = 9 \cdot 14 = 126$. Так как $126 > 0$, то $x=6$ является решением второго неравенства.

Поскольку $x=6$ является решением второго неравенства, но не является решением первого, множества решений этих двух неравенств не совпадают. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неверно.