Номер 4, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. При каких значениях $p$ произведение $(p - 1)(12 - 2p)p$ принимает отрицательное значение?

Для того чтобы произведение $(p - 1)(12 - 2p)p$ принимало отрицательное значение, необходимо решить следующее неравенство:

$(p - 1)(12 - 2p)p < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв каждый множитель к нулю. Эти корни являются точками, в которых выражение может менять знак.

1) $p - 1 = 0 \implies p_1 = 1$

2) $12 - 2p = 0 \implies 2p = 12 \implies p_2 = 6$

3) $p_3 = 0$

Мы получили три корня: $0$, $1$ и $6$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(p - 1)(12 - 2p)p$ в каждом из этих интервалов. Для этого выберем пробную точку в каждом интервале и подставим ее в выражение.

• Интервал $(-\infty; 0)$. Возьмем $p = -1$.

  $(-1 - 1)(12 - 2(-1))(-1) = (-2)(12 + 2)(-1) = (-2)(14)(-1) = 28$.

  Значение положительное ($>0$).

• Интервал $(0; 1)$. Возьмем $p = 0.5$.

  $(0.5 - 1)(12 - 2(0.5))(0.5) = (-0.5)(12 - 1)(0.5) = (-0.5)(11)(0.5) = -2.75$.

  Значение отрицательное ($<0$).

• Интервал $(1; 6)$. Возьмем $p = 2$.

  $(2 - 1)(12 - 2(2))(2) = (1)(12 - 4)(2) = (1)(8)(2) = 16$.

  Значение положительное ($>0$).

• Интервал $(6; +\infty)$. Возьмем $p = 7$.

  $(7 - 1)(12 - 2(7))(7) = (6)(12 - 14)(7) = (6)(-2)(7) = -84$.

  Значение отрицательное ($<0$).

Нас интересуют интервалы, где произведение отрицательно. Согласно нашим вычислениям, это интервалы $(0; 1)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $p \in (0; 1) \cup (6; +\infty)$