Номер 14, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Покажите с помощью стрелок, что представляет собой множество решений неравенства.

$x^2 + 16 < 0$

Пустое множество

$x^2 - 5x - 24 > 0$

$x^2 \ge 9$

Числовой промежуток

$0,8x^2 + 3,2 > 0$

$x^2 \le 64$

Объединение двух числовых промежутков

$2x - x^2 + 6 < 0$

$x^2 - x \le 1$

Множество всех точек

$x^2 + 4x + 14 \ge 0$

$x^2 + 16 < 0$

Чтобы решить это неравенство, перенесем 16 в правую часть: $x^2 < -16$. Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство, в котором неотрицательная величина ($x^2$) должна быть меньше отрицательной величины (-16), не имеет решений в множестве действительных чисел. Следовательно, множество решений является пустым.

Ответ: Пустое множество.

$x^2 \ge 9$

Это неравенство можно рассматривать как $|x| \ge 3$. Оно распадается на два случая: $x \ge 3$ и $x \le -3$. Решением является совокупность этих двух условий. На числовой прямой это два луча, идущие от -3 влево и от 3 вправо. Таким образом, множество решений есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$, что является объединением двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$x^2 \le 64$

Это неравенство равносильно $|x| \le 8$. Это, в свою очередь, эквивалентно двойному неравенству $-8 \le x \le 8$. Множество решений представляет собой замкнутый интервал (отрезок) от -8 до 8. Таким образом, решением является числовой промежуток $[-8, 8]$.

Ответ: Числовой промежуток.

$x^2 - x \le 1$

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x - 1 \le 0$. Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 1 = 0$. Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 1$ направлены вверх, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями. Таким образом, решением является отрезок $[\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$, что представляет собой числовой промежуток.

Ответ: Числовой промежуток.

$x^2 - 5x - 24 > 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$. По теореме Виета, корни равны 8 и -3. Неравенство можно переписать в виде $(x-8)(x+3) > 0$. Графиком функции $y=x^2 - 5x - 24$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y>0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Следовательно, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$. Это объединение двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$0,8x^2 + 3,2 > 0$

Перенесем постоянный член вправо: $0,8x^2 > -3,2$. Разделим обе части на 0,8 (положительное число, знак не меняется): $x^2 > -4$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), он всегда будет больше любого отрицательного числа, в частности -4. Таким образом, неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество решений - вся числовая прямая.

Ответ: Множество всех точек.

$2x - x^2 + 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 6 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 6$ направлены вверх, неравенство $y>0$ выполняется вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty, 1-\sqrt{7}) \cup (1+\sqrt{7}, +\infty)$. Это объединение двух числовых промежутков.

Ответ: Объединение двух числовых промежутков.

$x^2 + 4x + 14 \ge 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 14$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4(1)(14) = 16 - 56 = -40$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D<0$), парабола не пересекает ось Ох и полностью лежит выше нее. Это означает, что выражение $x^2 + 4x + 14$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 + 4x + 14 \ge 0$ верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Множество всех точек.