Номер 9, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Найдите область определения функции:

a) $y=\frac{\sqrt{15x^2+x-2}}{x-8}$

б) $y=\frac{\sqrt{x^2-36}}{2x+14}$

a)

б)

а) $y = \frac{\sqrt{15x^2 + x - 2}}{x - 8}$

Область определения функции (ОДЗ) задается двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $15x^2 + x - 2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 8 \neq 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 15x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x - 8 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное неравенство $15x^2 + x - 2 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Так как ветви параболы $y = 15x^2 + x - 2$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $15x^2 + x - 2 \ge 0$ выполняется при $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/5] \cup [1/3; +\infty)$.

2. Решим второе условие: $x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8$.

3. Объединим результаты. Необходимо из множества $(-\infty; -2/5] \cup [1/3; +\infty)$ исключить точку $x=8$. Точка 8 принадлежит промежутку $[1/3; +\infty)$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -2/5] \cup [1/3; 8) \cup (8; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2/5] \cup [1/3; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{2x + 14}$

Область определения функции (ОДЗ) задается двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2x + 14 \neq 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x + 14 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+6) \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 36 = 0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.
Методом интервалов (или анализируя параболу $y=x^2-36$) находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

2. Решим второе условие: $2x + 14 \neq 0$.

$2x \neq -14$
$x \neq -7$

3. Объединим результаты. Необходимо из множества $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$ исключить точку $x=-7$. Точка -7 принадлежит промежутку $(-\infty; -6]$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; -6] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (-7; -6] \cup [6; +\infty)$.