Номер 3, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. При каких значениях $b$ трёхчлен $6b^2 - 5b - 4$ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения?

Ответ: а) б)

Чтобы определить, при каких значениях b трёхчлен $6b^2 - 5b - 4$ принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить соответствующие неравенства. Для этого сначала найдём корни квадратного уравнения $6b^2 - 5b - 4 = 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(b) = 6b^2 - 5b - 4$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $b^2$ равен 6 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдём точки пересечения параболы с осью абсцисс (корни уравнения), решив уравнение $6b^2 - 5b - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a = 6$, $b = -5$, $c = -4$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни $b_1$ и $b_2$ по формуле $b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$b_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} = -0,5$

$b_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Корни уравнения — это точки, в которых значение трёхчлена равно нулю. Поскольку ветви параболы направлены вверх, трёхчлен будет принимать положительные значения на интервалах вне корней и отрицательные значения на интервале между корнями.

а) положительные значения

Мы ищем значения b, при которых выполняется неравенство $6b^2 - 5b - 4 > 0$.

Это происходит, когда значение b находится левее меньшего корня ($-0,5$) или правее большего корня ($\frac{4}{3}$).

Следовательно, $b < -0,5$ или $b > \frac{4}{3}$.

В виде объединения интервалов это записывается как $b \in (-\infty; -0,5) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -0,5) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Мы ищем значения b, при которых выполняется неравенство $6b^2 - 5b - 4 < 0$.

Это происходит, когда значение b находится строго между корнями.

Следовательно, $-0,5 < b < \frac{4}{3}$.

В виде интервала это записывается как $b \in (-0,5; \frac{4}{3})$.

Ответ: $b \in (-0,5; \frac{4}{3})$.