Номер 2, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Решите неравенство:

а) $3x^2 + 8x - 3 > 0;$

б) $x^2 - 19x - 42 < 0.$

a)

y

0

x

б)

y

0

x

Ответ.

а) $3x^2 + 8x - 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$. Это необходимо, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент) $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -3$ и $x = \frac{1}{3}$.

Неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $x^2 - 19x - 42 < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 19x - 42 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 361 + 168 = 529 = 23^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-19) - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 23}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-19) + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 23}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Графиком функции $y = x^2 - 19x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 21$.

Неравенство $x^2 - 19x - 42 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал от $-2$ до $21$.

Ответ: $x \in (-2; 21)$.