Номер 7, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 4x - 32 \le 0 \\ 0,3x < 1,5 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 \le 16 \\ 1,2x - 3,6 \le 0 \end{cases}$

a) б)

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 32 \le 0, \\ 0,3x < 1,5; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 32 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 32$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-4, 8]$.

2. Решим второе неравенство: $0,3x < 1,5$.
Разделим обе части на 0,3:
$x < \frac{1,5}{0,3}$
$x < 5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in [-4, 8]$ и $x \in (-\infty, 5)$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-4, 5)$.

Ответ: $x \in [-4, 5)$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 \le 16, \\ 1,2x - 3,6 \le 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \le 16$.
Это неравенство равносильно $|x| \le 4$.
Раскрывая модуль, получаем двойное неравенство: $-4 \le x \le 4$.
Решение первого неравенства: $x \in [-4, 4]$.

2. Решим второе неравенство: $1,2x - 3,6 \le 0$.
Перенесем -3,6 в правую часть:
$1,2x \le 3,6$
Разделим обе части на 1,2:
$x \le \frac{3,6}{1,2}$
$x \le 3$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in [-4, 4]$ и $x \in (-\infty, 3]$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-4, 3]$.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.