Номер 1, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Решите неравенство:

а) $2x^2 - 9x + 7 > 0$; б) $2x^2 - 9x + 7 < 0$.

Решение. Определим направление ветвей параболы, которая является графиком функции $y=2x^2 - 9x + 7$. Ветви направлены

Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью $x$:

Изобразим параболу схематически и укажем множество решений неравенств:

Ответ: а) ......................... б) .........................

Для решения обоих неравенств рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 9x + 7$. Графиком этой функции является парабола.

Определим направление ветвей параболы.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью x.

Для этого приравняем квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

$2x^2 - 9x + 7 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$

Изобразим параболу схематически и укажем множество решений неравенств.

Парабола пересекает ось $x$ в точках 1 и 3.5, а её ветви направлены вверх. Это означает, что значения функции положительны вне интервала между корнями и отрицательны внутри этого интервала.

а) $2x^2 - 9x + 7 > 0$

Решением неравенства являются все значения $x$, при которых парабола находится выше оси $x$. Глядя на схему, это происходит при $x$ левее точки 1 и правее точки 3.5. Таким образом, решением является объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3.5; +\infty)$.

б) $2x^2 - 9x + 7 < 0$

Решением неравенства являются все значения $x$, при которых парабола находится ниже оси $x$. Глядя на схему, это происходит на интервале между точками 1 и 3.5.

Ответ: $x \in (1; 3.5)$.