Номер 6, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Сумма двух взаимно обратных обыкновенных дробей равна $\frac{29}{10}$.

Числитель первой дроби на 3 меньше её знаменателя. Найдите эти дроби.

Пусть знаменатель первой дроби равен $x$. Согласно условию, её числитель на 3 меньше знаменателя, то есть равен $x-3$. Таким образом, первая дробь — это $\frac{x-3}{x}$.

Вторая дробь является взаимно обратной к первой, значит, она равна $\frac{x}{x-3}$.

Сумма этих двух дробей по условию равна $\frac{29}{10}$. Составим уравнение:

$\frac{x-3}{x} + \frac{x}{x-3} = \frac{29}{10}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{(x-3)(x-3) + x \cdot x}{x(x-3)} = \frac{29}{10}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:

$\frac{x^2 - 6x + 9 + x^2}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

$\frac{2x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x} = \frac{29}{10}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$10(2x^2 - 6x + 9) = 29(x^2 - 3x)$

$20x^2 - 60x + 90 = 29x^2 - 87x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$29x^2 - 20x^2 - 87x + 60x - 90 = 0$

$9x^2 - 27x - 90 = 0$

Разделим обе части уравнения на 9 для упрощения:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Оба корня удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Теперь найдем сами дроби для каждого из случаев.

1. Если $x = 5$ (знаменатель первой дроби):

Первая дробь: $\frac{x-3}{x} = \frac{5-3}{5} = \frac{2}{5}$.

Вторая дробь (обратная): $\frac{5}{2}$.

2. Если $x = -2$ (знаменатель первой дроби):

Первая дробь: $\frac{x-3}{x} = \frac{-2-3}{-2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

Вторая дробь (обратная): $\frac{2}{5}$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару дробей: $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$.

Ответ: искомые дроби — $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$.