Номер 2, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города А выехали одновременно два автомобиля, причём скорость первого из них больше скорости второго на 10 км/ч, поэтому он прибыл в город В на 1 ч раньше, чем второй автомобиль. Найдите скорости автомобилей.

Решение.

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда

скорость второго — $(x-10)$ км/ч. Время, затраченное на

дорогу первым автомобилем, равно $420/x$ ч, а вторым —

$420/(x-10)$ ч. Второй автомобиль затратил на 1 ч больше времени.

Составим и решим уравнение:

Решение. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго — $x-10$ км/ч. Время, затраченное на дорогу первым автомобилем, равно $\frac{420}{x}$ ч, а вторым — $\frac{420}{x-10}$ ч. Второй автомобиль затратил на 1 ч больше времени.

Составим и решим уравнение:

Так как второй автомобиль был в пути на 1 час дольше, чем первый, разница во времени их движения равна 1.
$\frac{420}{x-10} - \frac{420}{x} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x-10)$. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $x \neq 0$ и $x \neq 10$. Так как $x$ — это скорость, то $x>0$. Из условия, что скорость первого автомобиля больше скорости второго, следует, что $x > 10$.
$\frac{420x - 420(x-10)}{x(x-10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе дроби:
$\frac{420x - 420x + 4200}{x^2 - 10x} = 1$
$\frac{4200}{x^2 - 10x} = 1$

Это уравнение равносильно системе:
$x^2 - 10x = 4200$
$x^2 - 10x \neq 0$

Решим первое уравнение, перенеся все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 10x - 4200 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900$
$\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 130}{2} = \frac{140}{2} = 70$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 130}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной.
Следовательно, скорость первого автомобиля равна 70 км/ч. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($70 > 10$).

Теперь найдем скорость второго автомобиля:
$70 - 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 70 км/ч, скорость второго автомобиля — 60 км/ч.