Номер 15, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Решите уравнение $ \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 4} = \frac{17}{4} $.

Данное уравнение представляет собой рациональное уравнение вида:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 4} = \frac{17}{4} $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю:
1. $x \neq 0$.
2. $x^2 + 4 \neq 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, этот знаменатель никогда не равен нулю.
Таким образом, единственное ограничение на $x$ — это $x \neq 0$.

Мы видим, что два слагаемых в левой части уравнения являются взаимно обратными. Это позволяет нам использовать метод замены переменной для упрощения уравнения.
Пусть $y = \frac{x^2 + 4}{x}$.
Тогда второе слагаемое будет равно $\frac{1}{y}$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим:

$$ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} $$

Это уравнение является дробно-рациональным относительно $y$. Умножим обе части уравнения на $4y$, чтобы избавиться от знаменателей. Заметим, что $y$ не может быть равно нулю, так как $x^2+4$ не равно нулю.

$$ 4y \cdot y + 4y \cdot \frac{1}{y} = 4y \cdot \frac{17}{4} $$

$$ 4y^2 + 4 = 17y $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ay^2 + by + c = 0$:

$$ 4y^2 - 17y + 4 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 $$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем значения $y$:

$$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 $$

$$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y = 4$

Подставляем это значение в выражение для замены:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} = 4 $$

$$ x^2 + 4 = 4x $$

$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Случай 2: $y = \frac{1}{4}$

Подставляем второе значение $y$:

$$ \frac{x^2 + 4}{x} = \frac{1}{4} $$

Используем перекрестное умножение:

$$ 4(x^2 + 4) = 1 \cdot x $$

$$ 4x^2 + 16 = x $$

$$ 4x^2 - x + 16 = 0 $$

Для решения этого квадратного уравнения также вычислим дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 1 - 256 = -255 $$

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень $x=2$.

Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$$ \frac{2^2 + 4}{2} + \frac{2}{2^2 + 4} = \frac{4 + 4}{2} + \frac{2}{4 + 4} = \frac{8}{2} + \frac{2}{8} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} $$

$\frac{17}{4} = \frac{17}{4}$. Равенство выполняется, следовательно, корень найден верно.

Ответ: $2$.