Номер 9, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Решите уравнение $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 = \frac{3x-3}{x} + 4$, обозначив $\frac{x-1}{x}$ через $y$.

Дано уравнение:

$$ \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 = \frac{3x-3}{x} + 4 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Введем замену переменной, как предложено в условии: $y = \frac{x-1}{x}$.

Преобразуем правую часть уравнения, чтобы выразить ее через $y$. Для этого вынесем общий множитель 3 в числителе:

$$ \frac{3x-3}{x} = \frac{3(x-1)}{x} = 3 \cdot \left(\frac{x-1}{x}\right) = 3y $$

Теперь подставим $y$ в исходное уравнение. Левая часть становится $y^2$, а правая $3y+4$.

$$ y^2 = 3y + 4 $$

Перенесем все члены уравнения в левую сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ y^2 - 3y - 4 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$

Теперь найдем корни для $y$:

$$ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

Мы получили два значения для $y$: $4$ и $-1$. Теперь выполним обратную замену для каждого из них, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: y = 4

Подставляем значение $y$ в уравнение замены:

$$ \frac{x-1}{x} = 4 $$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$$ x-1 = 4x $$

$$ 4x - x = -1 $$

$$ 3x = -1 $$

$$ x_1 = -\frac{1}{3} $$

Случай 2: y = -1

Подставляем второе значение $y$ в уравнение замены:

$$ \frac{x-1}{x} = -1 $$

Умножим обе части на $x$:

$$ x-1 = -x $$

$$ 2x = 1 $$

$$ x_2 = \frac{1}{2} $$

Оба найденных корня, $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$, не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}$.