Номер 4, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Решите уравнение

$\frac{5a^3 - 20a + 15a^2 - 60}{a^2 - 9} = 0.$

Данное уравнение $\frac{5a^3 - 20a + 15a^2 - 60}{a^2 - 9} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$a^2 - 9 \neq 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(a - 3)(a + 3) \neq 0$

Следовательно, ОДЗ: $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$5a^3 - 20a + 15a^2 - 60 = 0$

Переставим слагаемые для удобства и вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5a^3 + 15a^2 - 20a - 60 = 0$

$5(a^3 + 3a^2 - 4a - 12) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^3 + 3a^2 - 4a - 12 = 0$

Решим полученное кубическое уравнение методом группировки:

$(a^3 + 3a^2) - (4a + 12) = 0$

$a^2(a + 3) - 4(a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(a + 3)$ за скобку:

$(a^2 - 4)(a + 3) = 0$

Выражение $(a^2 - 4)$ также раскладывается по формуле разности квадратов:

$(a - 2)(a + 2)(a + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных корня:

$a - 2 = 0 \implies a_1 = 2$

$a + 2 = 0 \implies a_2 = -2$

$a + 3 = 0 \implies a_3 = -3$

3. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($a \neq 3$ и $a \neq -3$).

Корень $a = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $a = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $a = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень и он не является решением уравнения.

Ответ: $-2; 2$.