Номер 19, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Найдите все натуральные значения c, при которых уравнение $2cx^2 + 7x = x^2 + 3x - 0,5$ имеет два корня.

Для того чтобы найти все натуральные значения $c$, при которых данное уравнение имеет два корня, необходимо сначала привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + k = 0$.

Исходное уравнение:

$2cx^2 + 7x = x^2 + 3x - 0,5$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$2cx^2 - x^2 + 7x - 3x + 0,5 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(2c - 1)x^2 + 4x + 0,5 = 0$

Это уравнение является квадратным и имеет два различных действительных корня при выполнении двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Это гарантирует, что уравнение является квадратным.

2. Дискриминант ($D$) уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Проверим первое условие. Коэффициент при $x^2$ равен $(2c - 1)$.

$2c - 1 \neq 0$

$2c \neq 1$

$c \neq 0,5$

Поскольку по условию задачи $c$ — натуральное число (то есть $c \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), это условие всегда выполняется.

Теперь проверим второе условие. Найдем дискриминант $D$ для уравнения $(2c - 1)x^2 + 4x + 0,5 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 2c - 1$, $b = 4$, $k = 0,5$.

$D = b^2 - 4ak$

$D = 4^2 - 4 \cdot (2c - 1) \cdot 0,5$

$D = 16 - 2 \cdot (2c - 1)$

$D = 16 - 4c + 2$

$D = 18 - 4c$

Для того чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля:

$18 - 4c > 0$

Решим это неравенство относительно $c$:

$18 > 4c$

$c < \frac{18}{4}$

$c < 4,5$

Теперь нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $c < 4,5$.

Натуральными числами, меньшими 4,5, являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: $1, 2, 3, 4$.