Номер 15, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Составьте какое-либо уравнение вида $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен стандартного вида пятой степени, если известно, что множеством его корней является множество $A=\{-3, -2, 1, 2, 3\}$.

По условию, нам нужно составить уравнение $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен пятой степени, а множество его корней — это $A=\{-3, -2, 1, 2, 3\}$.

Если число $c$ является корнем многочлена, то $(x-c)$ является его множителем (согласно теореме Безу). Поскольку нам даны все пять корней многочлена пятой степени, мы можем записать его в виде произведения соответствующих линейных множителей.

Корни многочлена: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 1$, $x_4 = 2$, $x_5 = 3$.

Следовательно, многочлен $P(x)$ можно представить в виде: $P(x) = k \cdot (x - (-3)) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$, где $k$ — ненулевой коэффициент.

$P(x) = k \cdot (x+3)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)$

Поскольку в задании просят составить «какое-либо» уравнение, мы можем выбрать самый простой вариант, положив старший коэффициент $k=1$. $P(x) = (x+3)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)$.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, необходимо раскрыть скобки. Для удобства вычислений сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $P(x) = [(x+3)(x-3)] \cdot [(x+2)(x-2)] \cdot (x-1)$

Вычисляем произведения в скобках: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$
$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

Подставляем обратно в выражение для $P(x)$: $P(x) = (x^2 - 9)(x^2 - 4)(x-1)$

Перемножаем первые два многочлена: $(x^2 - 9)(x^2 - 4) = x^2 \cdot x^2 - 4x^2 - 9x^2 + (-9)(-4) = x^4 - 13x^2 + 36$

Теперь умножим полученный результат на $(x-1)$: $P(x) = (x^4 - 13x^2 + 36)(x-1)$ $P(x) = x \cdot (x^4 - 13x^2 + 36) - 1 \cdot (x^4 - 13x^2 + 36)$ $P(x) = x^5 - 13x^3 + 36x - x^4 + 13x^2 - 36$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив его члены в порядке убывания степеней переменной $x$: $P(x) = x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36$

Искомое уравнение $P(x)=0$ имеет вид: $x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36 = 0$.

Ответ: $x^5 - x^4 - 13x^3 + 13x^2 + 36x - 36 = 0$.