Номер 13, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Один из корней уравнения $x^3 - ax^2 + 6x - 5 = 0$ равен 5. Найдите значение $a$ и остальные корни этого уравнения.

Найдите значение a

По условию, один из корней уравнения $x^3 - ax^2 + 6x - 5 = 0$ равен 5. Это означает, что при подстановке $x=5$ в уравнение мы получим верное равенство. Используем это для нахождения параметра $a$.

Подставляем $x=5$:

$5^3 - a \cdot 5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = 0$

Выполняем вычисления:

$125 - 25a + 30 - 5 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$150 - 25a = 0$

Решаем полученное линейное уравнение относительно $a$:

$25a = 150$

$a = \frac{150}{25}$

$a = 6$

Ответ: $a = 6$.

...и остальные корни этого уравнения

Теперь, зная значение $a=6$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$x^3 - 6x^2 + 6x - 5 = 0$

Поскольку мы знаем, что $x_1=5$ является корнем, многочлен в левой части уравнения делится на $(x-5)$ без остатка. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 6x - 5$ на двучлен $(x-5)$. Это можно сделать, например, делением столбиком.

В результате деления получаем квадратный трехчлен: $x^2 - x + 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x-5)(x^2 - x + 1) = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Один корень мы уже знаем: $x-5=0 \Rightarrow x_1=5$.

Остальные корни найдем из квадратного уравнения:

$x^2 - x + 1 = 0$

Для решения этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Итак, остальные два корня уравнения:

$x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

Ответ: остальные корни уравнения — это $x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ и $x_3 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$.