Номер 9, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Решите уравнение:

$x^3 + 11x^2 - 10 = 0; x^3 + x^2 + 10x^2 - 10 = 0; x^2(x + 1) + 10(x^2 - 1) = 0;$

$x^2(x + 1) + 10(x + 1)(x - 1) = 0; (x + 1)(x^2 + 10x - 10) = 0;$

$x_1 = -1, x_{2,3} = -5 \pm \sqrt{25 + 10}; x_2 = -5 - \sqrt{35}, x_3 = -5 + \sqrt{35}.$

a) $x^3 + 9x^2 - 8 = 0;$

б) $x^3 + 6x^2 - 7 = 0.$

a) $x^3 + 9x^2 - 8 = 0$

Для решения данного кубического уравнения найдем один из его целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, то есть числа -8. Делителями числа -8 являются: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 9(-1)^2 - 8 = -1 + 9(1) - 8 = -1 + 9 - 8 = 0$.
Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 9x^2 - 8$ делится на $(x+1)$ без остатка.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя метод группировки. Представим $9x^2$ как $x^2 + 8x^2$:
$x^3 + x^2 + 8x^2 - 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 + x^2) + (8x^2 - 8) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^2(x+1) + 8(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ко второму слагаемому:
$x^2(x+1) + 8(x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2 + 8(x-1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:
$(x+1)(x^2 + 8x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 + 8x - 8 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным, с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для уравнения $x^2 + 8x - 8 = 0$, коэффициенты $a=1, b=8, c=-8$.
Найдем дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 64 + 32 = 96$.
Найдем корни:
$x_{2,3} = \frac{-8 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{6}$.
Таким образом, $x_2 = -4 - 2\sqrt{6}$ и $x_3 = -4 + 2\sqrt{6}$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -4 - 2\sqrt{6}, x_3 = -4 + 2\sqrt{6}$.

б) $x^3 + 6x^2 - 7 = 0$

Найдем целый корень уравнения среди делителей свободного члена -7. Делители: $\pm 1, \pm 7$.

Проверим $x = 1$:
$1^3 + 6(1)^2 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения, и многочлен $x^3 + 6x^2 - 7$ делится на $(x-1)$.

Разложим левую часть на множители методом группировки. Представим $6x^2$ как $-x^2 + 7x^2$:
$x^3 - x^2 + 7x^2 - 7 = 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - x^2) + (7x^2 - 7) = 0$

Вынесем общие множители:
$x^2(x-1) + 7(x^2 - 1) = 0$

Используем формулу разности квадратов:
$x^2(x-1) + 7(x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 + 7(x+1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:
$(x-1)(x^2 + 7x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 + 7x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 7 = 0$ с коэффициентами $a=1, b=7, c=7$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 49 - 28 = 21$.
Найдем корни:
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}$ и $x_3 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-7 + \sqrt{21}}{2}$.