Номер 7, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Решите биквадратное уравнение:

a) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

б) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0.$

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, мы должны учесть, что $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения для $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$ (так как $9 > 0$ и $4 > 0$).

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $t_1 = 9$ получаем уравнение $x^2 = 9$. Его корни $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Для $t_2 = 4$ получаем уравнение $x^2 = 4$. Его корни $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3, -2, 2, 3$.

б) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 7t - 8 = 0$

Решим его. Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 0$.

Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию, так как $-8 < 0$. Этот корень является посторонним, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 1$:

$x^2 = 1$

Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1, 1$.