Номер 14, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Найдите координаты точек, в которых график функции $y = x^4 - 20x^2 + 6$ пересекает:

а) ось x;

б) ось y.

а)

Точки пересечения графика функции с осью x (осью абсцисс) — это точки, в которых координата y равна нулю. Чтобы найти их, нужно решить уравнение $y=0$:

$x^4 - 20x^2 + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно t:

$t^2 - 20t + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 400 - 24 = 376$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{376}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{4 \cdot 94}}{2} = \frac{20 \pm 2\sqrt{94}}{2} = 10 \pm \sqrt{94}$

Получаем два значения для t:

$t_1 = 10 + \sqrt{94}$
$t_2 = 10 - \sqrt{94}$

Оба корня положительны, так как $\sqrt{94} \approx 9.7$, и, следовательно, $10 - \sqrt{94} > 0$. Значит, оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$:

1) $x^2 = t_1 = 10 + \sqrt{94} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{10 + \sqrt{94}}$

2) $x^2 = t_2 = 10 - \sqrt{94} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{10 - \sqrt{94}}$

Мы нашли четыре абсциссы точек пересечения. Координаты этих точек:

Ответ: $(\sqrt{10 + \sqrt{94}}, 0)$, $(-\sqrt{10 + \sqrt{94}}, 0)$, $(\sqrt{10 - \sqrt{94}}, 0)$, $(-\sqrt{10 - \sqrt{94}}, 0)$.

б)

Точка пересечения графика функции с осью y (осью ординат) — это точка, в которой координата x равна нулю. Чтобы найти ее, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = (0)^4 - 20(0)^2 + 6$

$y = 0 - 0 + 6 = 6$

Таким образом, график функции пересекает ось y в точке с координатами $(0, 6)$.

Ответ: $(0, 6)$.