Номер 17, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y = 2ax^3 + 3x^2 - 4x - 12$ с осью $x$, если известно, что одной из них является точка $(-2; 0)$.

$y=x^3$

По условию задачи, график функции $y = 2ax^3 + 3x^2 - 4x - 12$ пересекает ось $x$ в точке с координатами $(-2; 0)$. Это значит, что если подставить значения $x = -2$ и $y = 0$ в уравнение функции, мы получим верное равенство. Используем это, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$.

Подставляем $x = -2$ и $y = 0$:
$0 = 2a(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) - 12$

Выполняем вычисления:
$0 = 2a(-8) + 3(4) + 8 - 12$
$0 = -16a + 12 + 8 - 12$
$0 = -16a + 8$

Решаем уравнение относительно $a$:
$16a = 8$
$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Теперь, когда значение $a$ найдено, подставим его в исходное уравнение функции:

$y = 2\left(\frac{1}{2}\right)x^3 + 3x^2 - 4x - 12$
$y = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$

Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $x$, необходимо решить уравнение $y = 0$:

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения этого кубического уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0$

Выносим общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Теперь выносим общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$

2) $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{4} \implies x_2 = 2, x_3 = -2$

Мы нашли три абсциссы точек пересечения: $x = -3$, $x = -2$ и $x = 2$. Ординаты всех точек пересечения с осью $x$ равны 0.

Следовательно, координаты точек пересечения графика функции с осью $x$: $(-3; 0)$, $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

Ответ: $(-3; 0)$, $(-2; 0)$, $(2; 0)$.