Номер 2, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. При каких значениях $b$ равно нулю значение дроби $\frac{2b^3 - 8b}{3b + 6}$?

Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 2b^3 - 8b = 0, \\ 3b + 6 \neq 0. \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$2b^3 - 8b = 0$

Вынесем общий множитель $2b$ за скобки:

$2b(b^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$:

$2b(b - 2)(b + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три возможных значения $b$:

$2b = 0 \implies b_1 = 0$

$b - 2 = 0 \implies b_2 = 2$

$b + 2 = 0 \implies b_3 = -2$

2. Проверим выполнение второго условия системы (неравенства) для каждого из найденных корней:

$3b + 6 \neq 0$

$3b \neq -6$

$b \neq -2$

Это условие означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. Значение $b = -2$ не входит в область допустимых значений (ОДЗ) дроби.

3. Сравним корни уравнения с ОДЗ:

• При $b = 0$: условие $b \neq -2$ выполняется ($0 \neq -2$). Следовательно, $b=0$ является решением.
• При $b = 2$: условие $b \neq -2$ выполняется ($2 \neq -2$). Следовательно, $b=2$ является решением.
• При $b = -2$: условие $b \neq -2$ не выполняется. При этом значении знаменатель дроби обращается в нуль, что недопустимо. Следовательно, $b=-2$ не является решением.

Таким образом, значение дроби равно нулю при двух значениях $b$.

Ответ: $0; 2$.