Номер 7, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Решите уравнение $ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} $

Исходное уравнение:

$ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 2, 4, 5\}$.

Приведем к общему знаменателю дроби в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:

$ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x+4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{x-4-x-4}{x^2-16} = \frac{-8}{x^2-16} $

Правая часть:

$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-5} = \frac{(x-5) - (x-2)}{(x-2)(x-5)} = \frac{x-5-x+2}{x^2-7x+10} = \frac{-3}{x^2-7x+10} $

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{-8}{x^2-16} = \frac{-3}{x^2-7x+10} $

Умножим обе части на $-1$:

$ \frac{8}{x^2-16} = \frac{3}{x^2-7x+10} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), так как мы уже учли ОДЗ:

$ 8(x^2 - 7x + 10) = 3(x^2 - 16) $

Раскроем скобки:

$ 8x^2 - 56x + 80 = 3x^2 - 48 $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$ (8x^2 - 3x^2) - 56x + (80 + 48) = 0 $

$ 5x^2 - 56x + 128 = 0 $

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 128 = 3136 - 2560 = 576 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 $

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_1 = \frac{56 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8 $

$ x_2 = \frac{56 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{32}{10} = 3.2 $

Оба корня, $x_1 = 8$ и $x_2 = 3.2$, принадлежат области допустимых значений.

Ответ: $8; 3.2$.