Номер 10, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Решите уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4,5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 5$. Продолжите решение.

Решение.

Введём новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $t^2 = $

$=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$; отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$............

Продолжим решение, начатое в условии. Исходное уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4,5(x + \frac{1}{x}) - 5$.

Введена замена $t = x + \frac{1}{x}$. Как показано, выражение в левой части уравнения равно $t^2$, так как $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение:

$t^2 = 4,5t - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 4,5t + 5 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2t^2 - 9t + 10 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1. При $t = 2,5$:

$x + \frac{1}{x} = 2,5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (отметим, что $x \neq 0$, иначе исходное уравнение не имеет смысла):

$x^2 + 1 = 2,5x$

$x^2 - 2,5x + 1 = 0$

Снова умножим на 2 для удобства:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Корни для $x$:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

2. При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень:

$x_3 = 1$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $0,5$, $1$ и $2$.

Ответ: $0,5; 1; 2$.