Номер 16, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Найдите корни уравнения

$\frac{x+\frac{2}{x}}{\left(x-1+\frac{2}{x}\right)^2} = \frac{3}{4}$

Дано уравнение:

$$ \frac{x + \frac{2}{x}}{\left(x - 1 + \frac{2}{x}\right)^2} = \frac{3}{4} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Во-вторых, знаменатель всей левой части уравнения также не должен быть равен нулю:

$\left(x - 1 + \frac{2}{x}\right)^2 \neq 0 \implies x - 1 + \frac{2}{x} \neq 0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1 \cdot x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{x^2 - x + 2}{x} \neq 0$

Это условие выполняется, если числитель $x^2 - x + 2 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 - x + 2$ всегда больше нуля. Таким образом, единственным ограничением ОДЗ является $x \neq 0$.

Для упрощения решения введем замену. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$. Тогда выражение в знаменателе можно представить как:

$x - 1 + \frac{2}{x} = \left(x + \frac{2}{x}\right) - 1 = y - 1$

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$$ \frac{y}{(y - 1)^2} = \frac{3}{4} $$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Используем правило пропорции:

$4y = 3(y - 1)^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4y = 3(y^2 - 2y + 1)$

$4y = 3y^2 - 6y + 3$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь сделаем обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) При $y = 3$:

$x + \frac{2}{x} = 3$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 2 = 3x$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2) При $y = \frac{1}{3}$:

$x + \frac{2}{x} = \frac{1}{3}$

Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 6 = x$

$3x^2 - x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 1 - 72 = -71$

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $x=1$ и $x=2$.

Ответ: $1; 2$.