Номер 1, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет равна $\frac{1}{2}$. Найдите первоначальную дробь.

Решение. Пусть $x$ — числитель дроби, тогда знаменатель дроби ....................

............ После указанных изменений числителя и знаменателя данной дроби новая дробь будет иметь вид — ..................., что по условию задачи равно $\frac{1}{2}$.

Составим и решим уравнение:

Решение. Пусть $x$ — числитель дроби, тогда, согласно условию, знаменатель дроби равен $x+5$. Первоначальная дробь имеет вид $\frac{x}{x+5}$.

После того как числитель уменьшили на 2, он стал равен $x-2$. А знаменатель увеличили на 2, и он стал равен $(x+5)+2 = x+7$.

Новая дробь имеет вид $\frac{x-2}{x+7}$, что по условию задачи равно $\frac{1}{2}$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{x-2}{x+7} = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (x-2) = 1 \cdot (x+7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x - 4 = x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки на противоположные:

$2x - x = 7 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 11$

Таким образом, мы нашли числитель первоначальной дроби, он равен 11.

Теперь найдем знаменатель первоначальной дроби:

$x+5 = 11+5=16$

Следовательно, искомая первоначальная дробь — это $\frac{11}{16}$.

Проверка: числитель 11 на 5 меньше знаменателя 16. Уменьшаем числитель на 2: $11-2=9$. Увеличиваем знаменатель на 2: $16+2=18$. Полученная дробь $\frac{9}{18}$ при сокращении на 9 действительно равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{11}{16}$.