Номер 12, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Решите уравнение $3x - \frac{3}{x} = x^3 - \frac{1}{x^3}$, используя разложение на множители и введение новой переменной.

Дано уравнение: $3x - \frac{3}{x} = x^3 - \frac{1}{x^3}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \neq 0$, так как в знаменателях дробей стоит переменная.

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем их. Перенесем члены из левой части в правую:

$x^3 - \frac{1}{x^3} - (3x - \frac{3}{x}) = 0$

Вынесем общий множитель 3 за скобки во второй группе слагаемых. Этот шаг является частью разложения на множители, как указано в условии:

$(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x}) = 0$

Теперь, как и требуется в задании, введем новую переменную. Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x - \frac{1}{x}$.

Пусть $t = x - \frac{1}{x}$.

Далее выразим слагаемое $(x^3 - \frac{1}{x^3})$ через новую переменную $t$. Для этого воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$. Отсюда следует, что $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$.

Подставим в эту формулу $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})$

Используя замену $t = x - \frac{1}{x}$, получаем:

$x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$

Теперь подставим полученные выражения в преобразованное уравнение $(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 3(x - \frac{1}{x}) = 0$:

$(t^3 + 3t) - 3(t) = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$t^3 + 3t - 3t = 0$

$t^3 = 0$

Отсюда получаем единственное решение для $t$: $t = 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x - \frac{1}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (мы помним, что $x \neq 0$):

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в область допустимых значений. Проверка показывает, что оба корня верны. Для $x=1$ получаем $3-3=1-1 \implies 0=0$, для $x=-1$ получаем $-3+3=-1+1 \implies 0=0$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.